Luego de mirar en diferentes repositorios y sitios webs finalmente nos hemos encontrado la respuesta que te mostramos ahora.
Solución:
Hay obstrucciones. Quizás el más famoso proviene del teorema de que, si una variedad compacta de espín tiene una métrica de curvatura escalar positiva, entonces su $que A$-el género debe desaparecer.
Si toma una variedad de espín riemanniana compacta $(M,g)$ con holonomía especial $mathrmG_2$ (en dimensión $7$), $mathrmGirar(7)$ (en dimensión $8$), u holonomía en $mathrmSU(n)$ (en dimensión $2n$) cuyo $que A$-genus es distinto de cero (y hay muchos de estos, incluso los simplemente conectados), entonces $g$ será Ricci-plana y, por lo tanto, tendrá una curvatura de Ricci no negativa. Sin embargo, según el teorema anterior, no puede transportar ninguna métrica con curvatura escalar positiva, y mucho menos una métrica con curvatura de Ricci positiva.
Esta no es una respuesta completa, pero sería útil. Aquí hay algunos hechos:
Teorema (T. Aubin 1979). Si la curvatura de Ricci de una variedad Riemanniana compacta es no negativa y positiva en alguna parte, entonces la variedad tiene una métrica con curvatura de Ricci positiva.
También la desaparición del primer número de Betti es una condición necesaria en el caso compacto para admitir la curvatura de Ricci estrictamente positiva (ver en los libros de Google: Un curso de geometría diferencial, por Thierry Aubin).
Relación con la curvatura escalar:
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Todavía hay desconocido ejemplos de variedades simplemente conexas que admiten curvatura escalar positiva pero no curvatura de Ricci positiva
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Si un múltiple $ millones no puede tener una métrica con curvatura escalar positiva (o cero), entonces ciertamente no admite una métrica con curvatura de Ricci positiva (res. cero).
También es útil este artículo de G. Perelman: “Construcción de variedades de curvatura de Ricci positiva con gran volumen y grandes números de Betti”. Geometría de comparación. 30: 157–163 Haga clic aquí para pdf
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