Solución:
¿Ha considerado el espacio métrico trivial de $ 1 $ puntos? Todas las bolas son iguales allí.
En general, elija cualquier espacio con un punto aislado. Entonces puedes tener bolas iguales a su alrededor con diferentes radios.
También tenga en cuenta que cada espacio métrico puede acotarse cortando la distancia, es decir, $ d ‘(x, y) = min (d (x, y), 1) $. Entonces $ B (x, r) = B (x, r ‘) $ para cualquier $ r, r’ ge1 $.
Si está buscando una bola de radio más grande estrictamente contenida en una bola de radio más pequeño, considere el espacio métrico como el intervalo $[-1,1]$ que es una bola abierta de radio $ frac43 $ alrededor de $ 0 $ que contiene estrictamente una bola abierta de radio $ frac53 $ alrededor de $ 1 $.
Mire el avión ($ mathbb {R} ^ 2 $) en la llamada métrica de la oficina de correos. Denotando la norma habitual en el plano por $ | x | $, definimos esta métrica para dos puntos distintos $ x $ y $ y $ en el plano como $ d (x, y) = | x | + | y | $, y $ d (x, x) = 0 $, por supuesto. Uno comprueba fácilmente que se trata de una métrica.
La intuición es que para pasar del punto $ x $ al $ y $ se necesita viajar por la “oficina de correos”, que es el origen $ (0,0) $. Se ve que todo punto $ x neq (0,0) $ es un punto aislado, y que las bolas abiertas alrededor de $ (0,0) $ son las mismas que las habituales.
Ahora mira $ B ((0,0), frac {3} {2}) $ y $ B ((1,0), 2) $. El último consiste en la bola abierta habitual alrededor de $ (0,0) $ de radio $ 1 $ más $ (1,0) $ en sí, que es un subconjunto propio del primero, que tiene un radio más pequeño.
Si solo desea contención, el espacio métrico trivial con un solo punto es el mejor ejemplo.
Si desea que la bola con el radio más grande sea un subconjunto adecuado de la que tiene el radio más pequeño, tendrá que tener diferentes centros, pero entonces es bastante sencillo.
Dependiendo de sus preferencias para ejemplos, tome:
3 puntos a, b, c con d (a, b) = d (b, c) = 1 y d (a, c) = 2. Entonces B (b, 1.5) = {a, b, c} y B (a, 1,6) = {a, b}.
O toma el intervalo de la unidad [0;1], y luego considere las bolas B (0.5,0.6) y B (0,0.7).