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Solución:
los key el punto aquí es, por supuesto, que esto se hace en la zona sobre un punto definido para ser el origen del nuevo sistema de coordenadas: como dice el libro que ha vinculado, su ecuación para $textdz$ nos mantiene en la superficie de la esfera si somos desplazados por pequeñas cantidades $textodx$ y $textdy$ desde un punto arbitrario de la esfera. El libro luego pasa a elegir este punto como el origen. $(x,y)=(0,0)$ de este nuevo sistema de coordenadas que estás definiendo en la superficie de la esfera.
Por lo tanto, un pequeño cambio en $x$ y $y$muy cerca del origen llevaría a:
$$textds^2 = textdx^2 + textdy^2 + frac(x textdx + y textdy)^ 2a^2 – (x^2+y^2)=textdx^2 + textdy^2,$$
ya que $x=0$ y $y=0$.
La razón de la singularidad en $a^2 = x^2 + y^2$ es un poco más interesante: nos gustaría, por supuesto, un mapa que especifique de forma única cada punto de la esfera. Sin embargo, el mapa anterior no lo hace. La forma de verlo es darse cuenta de que en el mapa anterior, consideramos un plano tangente al origen e imaginamos un $xy-$rejilla en este plano. Luego “dejamos caer una perpendicular” desde cualquier punto $(x,y)$ y llamamos al punto que toca sobre la esfera “$z$“. Por supuesto, ¡este punto no es único! Ambos $+z$ y $-z$ podría igualmente satisfacer esta condición.
Por lo tanto, para mantener nuestro mapa único, elegimos $z>0$ con el entendimiento de que dicho mapa solo especifica un punto $(x,y,z)$ si se encuentra en el hemisferio norte de la esfera (es decir, “sobre el ecuador”). El hecho de que el mapa “explote” en el ecuador simplemente nos dice que más allá del ecuador no podemos usarlo más allá de este “límite”. Si desea definir puntos en el hemisferio inferior, deberá definir un nuevo mapa.
Por supuesto, no sucede nada particularmente horrible en el ecuador: de hecho, lo que llamamos el ecuador depende de nuestro punto $A$ que es el “polo norte”. Pero entonces, con una esfera, uno siempre podría elegir un “polo norte” diferente $A^principal$y tendríamos un mapa con un diferente dominio de validez. (Cubriría un diferente hemisferio, pero podría haber una superposición entre este nuevo mapa usando $A^principal$ y el viejo mapa usando $A$.)
Una singularidad de este tipo que se puede “eliminar” usando un mapa de coordenadas diferente se denomina singularidad coordinada o removible: nuestras coordenadas elegidas ya no son válidas más allá de esta curva Creo que esto es muy similar a lo que sucede en el Event Horizon de un Black Hole, ya que la métrica también tiene una singularidad coordinada allí.
En el enlace proporcionado, el autor en la página 36 afirma que la métrica es localmente euclidiana alrededor del punto elegido $A$ (el polo Norte). Siguiendo las orientaciones del autor en la figura 2.2, las coordenadas del polo norte son
$$A = (0,0,a)$$
Localmente alrededor de este punto significa que el $x$ y $y$ las coordenadas no se alejan mucho $A$es decir, lejos de $0$. Entonces se puede decir $xaprox.epsilon, yaprox.delta$y reexprese la métrica despreciando todos los términos de orden $epsilon^2, delta^2, epsilondelta$ o más pequeño.
los mixed parte de la métrica indicada luego desaparece – vea el numerador
$$(xdx+ydy)^2 approx epsilon^2 dx^2 + delta^2 dy^2 + 2(epsilon,delta), dx dy approx 0$$