Posteriormente a indagar en varios repositorios y páginas webs de internet al terminar hemos dado con la resolución que te enseñaremos aquí.
Solución:
Usaré el enfoque de coordenadas esféricas y asumiré por ahora que por “medida de superficie” te refieres a la medida de Haar de $4pi$ área total que cubre uniformemente la esfera unitaria. Si por el contrario buscas un promediover más abajo.
La integral completa sería
Integrate[Abs[Det[Sin[θ1] Cos[φ1], Sin[θ1] Sin[φ1], Cos[θ1],
Sin[θ2] Cos[φ2], Sin[θ2] Sin[φ2], Cos[θ2],
Sin[θ3] Cos[φ3], Sin[θ3] Sin[φ3], Cos[θ3]]]*
Sin[θ1] Sin[θ2] Sin[θ3],
θ1, 0, π, φ1, 0, 2 π, θ2, 0, π, φ2, 0, 2 π, θ3, 0, π, φ3, 0, 2 π]
pero no parece evaluar.
La invariancia rotacional significa que podemos establecer $theta_3=phi_3=0$ (pero mantenga un factor de $4pi$ para la medida integral de superficie correspondiente), así como $phi_2=0$ (pero mantenga un factor de $2pi$ para la medida integral de línea correspondiente):
4π*2π*Integrate[Abs[Det[Sin[θ1] Cos[φ1], Sin[θ1] Sin[φ1], Cos[θ1],
Sin[θ2], 0, Cos[θ2],
0, 0, 1]]*
Sin[θ1] Sin[θ2],
θ1, 0, π, φ1, 0, 2 π, θ2, 0, π]
8 π^4
La integral numérica concuerda con este resultado de $8pi^4aprox.779.273$:
NIntegrate[Abs[Det[Sin[θ1] Cos[φ1], Sin[θ1] Sin[φ1], Cos[θ1],
Sin[θ2] Cos[φ2], Sin[θ2] Sin[φ2], Cos[θ2],
Sin[θ3] Cos[φ3], Sin[θ3] Sin[φ3], Cos[θ3]]]*
Sin[θ1] Sin[θ2] Sin[θ3],
θ1, 0, π, φ1, 0, 2 π, θ2, 0, π, φ2, 0, 2 π, θ3, 0, π, φ3, 0, 2 π]
765 ± 17
jugando con el Method opción de NIntegrate dará mejor precisión.
Si estás buscando el promedio en su lugar, debe dividir por la medida de la superficie utilizada, $(4pi)^3$ (tres veces una superficie esférica de $4pi$):
8 π^4/(4 π)^3
π/8
y si buscas más allá de la media tetraédrico volumen en lugar del paralelepípedo, luego, como dice @MikeY, divide aún más por 6:
8 π^4/(4 π)^3/6
π/48
Este resultado concuerda con la respuesta numérica de @MikeY.
No es una respuesta simbólica, pero da un objetivo al que apuntar.
Desea el volumen promedio de un tetraedro con bordes definidos por puntos elegidos al azar de la esfera. Entonces, primero la rutina para elegir aleatoriamente de la esfera, definir una normal multivariante con media 0,0,0 y varianza = IdentityMatrix[3]. Luego, muestree aleatoriamente de esta distribución, que está uniformemente dispersa en todas las direcciones, y normalice para que tengan una longitud = 1.
mnd = MultinormalDistribution[0, 0, 0, IdentityMatrix[3]];
spherePoint := (sp = RandomVariate[mnd])/Norm[sp];
Ahora solo calcule el valor esperado de su función.
n = 100000;
res = 1/n Sum[[email protected][spherePoint, spherePoint, spherePoint]/3!, n]
0.065389
En comparación, con n=100 la estimación es .0643, por lo que converge rápidamente.
Sin conexión obvia con $pi$.
Aquí tienes las comentarios y valoraciones
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