Posterior a de nuestra extensa compilación de información dimos con la solución este atasco que presentan muchos los lectores. Te ofrecemos la respuesta y deseamos resultarte de gran apoyo.
Solución:
$ newcommand Vec[1] mathbf # 1 $Generalidades: Sea $ S $ la esfera en $ mathbf R ^ 3 $ con centro $ Vec c _ 0 = (x_ 0, y_ 0, z_ 0) $ y radio $ R> 0 $, y sea $ P $ el plano con la ecuación $ Ax + By + Cz = D $, de modo que $ Vec n = (A, B, C) $ es un vector normal de $ P $.
Si $ Vec p _ 0 $ es un punto arbitrario en $ P $, el firmado la distancia desde el centro de la esfera $ Vec c _ 0 $ al plano $ P $ es $$ rho = frac ( Vec c _ 0 – Vec p _ 0) cdot Vec n Vec n = frac Ax_ 0 + By_ 0 + Cz_ 0 – D sqrt A ^ 2 + B ^ 2 + C ^ 2. $$
La intersección $ S cap P $ es un círculo si y solo si $ -R < rho 
Ahora considere el ejemplo específico $$ S = (x, y, z): x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 4 , qquad P = (x, y, z): x – z sqrt 3 = 0 . $$ El centro de $ S $ es el origen, que se encuentra en $ P $, por lo que la intersección es un círculo de radio $ 2 $, el mismo radio que $ S $.
Cuando sustituye $ x = z sqrt 3 $ o $ z = x / sqrt 3 $ en la ecuación de $ S $, obtiene la ecuación de un cilindro con sección transversal elíptica (como se indica en el OP ). Sin embargo, debes además retenga la ecuación de $ P $ en su sistema. Es decir, cada uno de los siguientes pares de ecuaciones define el mismo círculo en el espacio: begin align * x – z sqrt 3 & = 0, & x – z sqrt 3 & = 0, & x – z sqrt 3 & = 0, \ x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 & = 4; & tfrac 4 3 x ^ 2 + y ^ 2 & = 4; & y ^ 2 + 4z ^ 2 & = 4. end align * Estos pueden no “parecer” círculos a primera vista, pero eso se debe a que el círculo no es paralelo a un plano de coordenadas; en su lugar, proyecta “sombras” elípticas en los planos $ (x, y) $ – y $ (y, z) $ -.
Tenga en cuenta que un círculo en el espacio no tiene una sola ecuación en el sentido que está preguntando.
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