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Solución:
Comentarios a la pregunta (v1):
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Lo último es lo primero. Con cáscara significa (en este contexto) que se satisfacen las ecuaciones de movimiento (eom). Ecuaciones de movimiento significa ecuaciones de Euler-Lagrange. Fuera de cáscara significa estrictamente hablando no en la cáscara, pero en la práctica siempre se usa en el sentido no necesariamente en la cáscara. [Let us stress that every infinitesimal transformation is an on-shell symmetry of an action, so an on-shell symmetry is a vacuous notion. Therefore in physics, when we claim that an action has a symmetry, it is always implicitly understood that the symmetry is an off-shell symmetry.]
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OP escribió: Aquí está mi primera pregunta: ¿Es esta realmente la demostración para la conservación de la carga (eléctrica)? Para esa acción en particular: Si. Más generalmente para QED: No, porque el potencial de calibre $ 4 $ $ A _ mu $, el término de Maxwell $ F _ mu nu F ^ mu nu $ y el acoplamiento mínimo faltan en la acción de OP. En principio, no basta con mirar únicamente al sector de la materia. Por otro lado, la simetría de calibre global para la acción completa $ S[A,Psi]$ conduce a la conservación de la carga eléctrica, cf. Primer teorema de Noether. [Two comments to drive home the point that it is necessary to also consider the gauge sector: (i) If we were doing scalar QED (rather than ordinary QED), it is known that the Noether current $j^mu$ actually depends on the $4$-gauge-potential $A_mu$, so the gauge sector is important, cf. this Phys.SE post. (ii) Another issue is that if we follow OP’s method and are supposed to treat the $4$-gauge potential $A_mu$ as a classical background (which OP puts to zero), then presumably we should also assume Maxwell’s equations $d_muF^munu=-j^nu$. Maxwell’s equations imply by themselves the continuity equation $d_muJ^mu=0$ even before we apply Noether’s Theorems.]
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No hay una cantidad conservada asociada con la simetría de gauge local per se, cf. Segundo teorema de Noether. (Su identidad externa de Noether es una trivialidad. Consulte también esta pregunta de Phys.SE).
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Quizás una comparación útil. Es posible considerar un modelo EM de la forma $$ S[A]~ = ~ int ! d ^ 4x ~ left (- frac 1 4 F _ mu nu F ^ mu nu + J ^ mu A _ mu right), $$ donde $ J ^ mu $ se tratan como fuentes de materia de fondo clásicas no dinámicas pasivas. En otras palabras, solo los campos de indicador $ A _ mu $ son variables dinámicas en este modelo. Antes incluso de comenzar, tenemos que asegurarnos de que la simetría de calibre local (fuera de shell) de la acción $ S[A]$ hasta los términos límite. Esto implica que las fuentes de fondo clásicas $ J ^ mu $ deben satisfacer la ecuación de continuidad $ d _ mu J ^ mu = 0 $ fuera de la cáscara. Por tanto, se nos impone una ley de conservación incluso antes de aplicar los teoremas de Noether. Tenga en cuenta que la simetría de indicador global es una declaración vacía en este modelo.
¿Es esta realmente la demostración para la conservación de la carga?
Si. El cargo se define como $ Q = int d ^ 3x ~ j ^ 0 $, por lo que $ partial_ mu j ^ mu = 0 $ muestra que se conserva.
Hasta ahora me parece que solo demostré que el flujo de probabilidad se conserva, no hay cargo por el momento …
Lo que demostraste es que el Actual se conserva. No creo que debas llamar a esto un “flujo de probabilidad”; parece que estás confundiendo $ Psi $ con una función de onda, cuando en realidad es un campo cuántico.
El OP me pidió que respondiera a esta pregunta. Bueno, todas las preguntas parecen estar relacionadas con la “necesidad” del teorema de Noether.
Entonces, la respuesta es que el procedimiento de Noether es la forma de derivar la corriente a partir de una simetría conocida. Esto es muy útil porque generalmente sabemos muy bien cómo actúa una simetría, porque sabemos cómo se transforma el campo debajo de él o cómo las cosas giran o cambian bajo las operaciones del espacio-tiempo, etc. Por otro lado, la forma precisa de la corriente conservada se vuelve mucho menos obvia. , especialmente una vez que empezamos a agregar varias interacciones. Hay “prácticamente” sólo una solución de lo que puede ser la corriente para conservar y el procedimiento de Noether es una forma de obtener esta forma correcta. Bueno, sí, la forma de la corriente está “contenida” en el Lagrangiano o en las ecuaciones de movimiento, pero no es obvio cómo “extraerla”, y es por eso que apreciamos el procedimiento de Noether. Si tiene un algoritmo diferente sobre cómo extraerlo, díganos, pero sé que no puede haber ningún procedimiento diferente que no sea equivalente al de Noether en absoluto.
Ahora, volvamos al primer ejemplo de la pregunta.
Para los campos que no interactúan, el número de partículas, sus cuantos, se conserva por completo. De hecho, cada campo libre de especies $ s $ en cada estado dado por un impulso $ k $ y polarización $ lambda $ etc. se conserva, $ N_ s, lambda, dots (k, dots) = rm const $. Pero esta es claramente solo una situación especial cuando las interacciones no existen y este caso no es físicamente interesante.
Las teorías interesantes solo comienzan una vez que tengo algunas interacciones. Destruyen casi todas estas “leyes de conservación”. En particular, no es true que el número de partículas se conserva en la teoría cuántica de campos. Podemos crear pares de electrones y positrones a partir de energía pura, etc. Solo se conservan algunas cantidades como cargas, energía / momento, momento angular, están en correspondencia uno a uno con las simetrías y las corrientes correspondientes (que incluye el tensor de tensión-energía) pueden derivarse mediante el procedimiento de Noether.