Bienvenido a proyecto on line, ahora vas a hallar la resolución de lo que estás buscando.
Solución:
$ newcommand BK[3] left newcommand BKB[3] mathbf left newcommand FR[2] textstyle frac # 1 # 2 newcommand BoldExp[2]# 1 ^ boldsymbol # 2 newcommand CMRR[2]
begin bmatrix # 1 \ # 2 end bmatrix newcommand MM[4]
begin bmatrix # 1 & # 2 \ # 3 & # 4 end bmatrix newcommand MMM[9]
begin bmatrix # 1 & # 2 & # 3 \ # 4 & # 5 & # 6 \ # 7 & # 8 & # 9 \ end bmatrix newcommand CMRRRR[4]
begin bmatrix # 1 \ # 2 \ # 3 \ # 4 end bmatrix newcommand CMRRR[3]
begin bmatrix # 1 \ # 2 \ # 3 end bmatrix newcommand RMCC[2]
begin bmatrix # 1 & # 2 end bmatrix newcommand RMCCC[3]
begin bmatrix # 1 & # 2 & # 3 end bmatrix newcommand RMCCCC[4]
begin bmatrix # 1 & # 2 & # 3 & # 4 end bmatrix newcommand OSS[1]
overset boldsymbol sim # 1 newcommand BoldSub[2]# 1 _ boldsymbol # 2 newcommand OSB[1]
overset boldsymbol – ! ! ! ! ! – # 1 $
Estos piones son mesones, partículas compuestas de un quark. $ boldsymbol lbrace boldsymbol u, boldsymbol d boldsymbol rbrace $ y un antiquark $ boldsymbol lbrace OSB boldsymbol u, overline boldsymbol d boldsymbol rbrace $ :
begin ecuación begin array cccccccc & boldsymbol lbrace boldsymbol u, boldsymbol d boldsymbol rbrace ! ! ! ! ! & boldsymbol otimes & ! ! ! ! boldsymbol lbrace OSB boldsymbol u, overline boldsymbol d boldsymbol rbrace & ! ! boldsymbol = ! ! & boldsymbol lbrace boldsymbol omega boldsymbol rbrace & ! ! ! ! boldsymbol oplus ! ! & boldsymbol lbrace BoldExp boldsymbol pi -, BoldExp boldsymbol pi 0, BoldExp boldsymbol pi + boldsymbol rbrace & \ & boldsymbol 2 ! ! ! ! ! & boldsymbol otimes & ! ! ! ! OSB boldsymbol 2 & ! ! boldsymbol = ! ! & boldsymbol 1 & ! ! ! ! boldsymbol oplus ! ! & boldsymbol 3 & end array etiqueta 01 etiqueta eq01 end ecuación begin align & left boldsymbol omega = sqrt tfrac 1 2 left ( boldsymbol u OSB boldsymbol u + boldsymbol d overline boldsymbol d right) hphantom = , right quad , text la camiseta boldsymbol 1 tag 02.1 label eq02. 1 \ & izquierda. begin cases BoldExp boldsymbol pi – = boldsymbol d OSB boldsymbol u \ BoldExp boldsymbol pi 0 = sqrt tfrac 1 2 left ( boldsymbol u OSB boldsymbol u – boldsymbol d overline boldsymbol d right) \ BoldExp boldsymbol pi + = boldsymbol u overline boldsymbol d end cases right } quad text el triplete boldsymbol 3 tag 02.2 label eq02.2 end align
Los subespacios $ ; boldsymbol 1, boldsymbol 3 ; $ son invariantes bajo el grupo isospin $ ; SU (2) $.
EDITAR
responde a un comentario del propietario del OP:
Esta explicación está bien. Pero todavía tengo una perplejidad. Mientras que los tres piones ($ pi ^ -, pi ^ 0, pi ^ + $) tienen una $ SU (2) $ simetría, ¿por qué los tres quarks ($ u, d, s $) tienen una $ SU (3) $ [not $SU(2)$] ¿simetría? De manera más general, dadas tres partículas similares, ¿cómo sabemos si tienen un $ SU (2) $ simetría o una $ SU (3) $ ¿simetría?
No debemos confundir el numero $ ; n ; $ del grupo de simetría $ ; SU (n) ; $ con el numero $ ; m ; $ de la resultante $ ; m- $plets (singletes, dobletes, tripletes, … nonets, etc).
En los siguientes tres ejemplos, el número $ ; n ; $ del grupo de simetría $ ; SU (n) ; $ es el número del $ ; n ; $ independiente $ ; n- $sistemas dimensionales que reunimos para construir un sistema compuesto.
$ color azul textbf Ejemplo A: $ Si juntamos una partícula $ ; alpha ; $ de momento angular de giro $ ; j _ alpha = frac12 ; $ con una partícula $ ; beta ; $ de momento angular de giro $ ; j _ beta = frac12 ; $ entonces el multiplete resultante es un singlete de momento angular $ ; j_ 1 = 0 ; $ y un triplete de momento angular $ ; j_ 2 = 1 ; $ begin ecuación boldsymbol 2 boldsymbol otimes boldsymbol 2 = boldsymbol 1 boldsymbol oplus boldsymbol 3 tag ed-01 label eqed- 01 end ecuación
Ahora apliquemos lo siguiente $ ; SU (2) ; $ transformaciones a los sistemas $ ; alpha, beta ; $ (partículas) respectivamente
begin align ^ bf 2 U _ bf alpha & = MM hphantom boldsymbol – g _ bf alpha h _ bf alpha vphantom h ^ boldsymbol * _ bf beta boldsymbol – h ^ boldsymbol * _ bf alpha g ^ boldsymbol * _ bf alpha _ bf a ,, quad g _ bf alpha g ^ boldsymbol * _ bf alpha boldsymbol + h_ bf alpha h ^ boldsymbol * _ bf alpha = 1 tag ed-02a label eqed-02a \ ^ bf 2 U _ bf beta & = MM hphantom boldsymbol – g _ bf beta h _ bf beta boldsymbol – h ^ boldsymbol * _ bf beta g ^ boldsymbol * _ bf beta _ bf b ,, quad g _ bf beta g ^ boldsymbol * _ bf beta boldsymbol + h _ bf beta h ^ boldsymbol * _ bf beta = 1 tag ed-02b label eqed -02b end align
En el sistema compuesto esta es una $ ; SU (4) ; $ transformación, el producto de los dos anteriores
begin ecuación ^ bf 4 U_ f = left (^ bf 2 U _ bf alpha right) boldsymbol otimes left (^ bf 2 U _ bf beta right) = MM hphantom boldsymbol – g _ bf alpha h _ bf alpha vphantom h ^ boldsymbol * _ bf beta boldsymbol – h ^ boldsymbol * _ bf alpha g ^ boldsymbol * _ bf alpha _ bf a ! ! ! boldsymbol otimes MM hphantom boldsymbol – g _ bf beta h _ bf beta boldsymbol – h ^ boldsymbol * _ bf beta g ^ boldsymbol * _ bf beta _ bf b ! ! ! = begin bmatrix hphantom boldsymbol – g _ bf alpha g _ bf beta & hphantom boldsymbol – g _ bf alpha h _ bf beta & hphantom boldsymbol – h _ bf alpha g _ bf beta & h _ bf alpha h _ bf beta \ boldsymbol – g_ bf alpha h ^ boldsymbol * _ bf beta & hphantom boldsymbol – g _ bf alpha g ^ boldsymbol * _ bf beta & boldsymbol – h _ bf alpha h ^ boldsymbol * _ bf beta & h _ bf alpha g ^ boldsymbol * _ bf beta \ boldsymbol – h ^ boldsymbol * _ bf alpha g _ bf beta & boldsymbol – h ^ boldsymbol * _ bf alpha h _ bf beta & hphantom boldsymbol – g ^ boldsymbol * _ bf alpha g _ bf beta & g ^ boldsymbol * _ bf alpha h _ bf beta \ hphantom boldsymbol – h ^ boldsymbol * _ bf alpha h ^ boldsymbol * _ bf beta & boldsymbol – h ^ boldsymbol * _ bf alpha g ^ boldsymbol * _ bf beta & boldsymbol – g ^ boldsymbol * _ bf alpha h ^ boldsymbol * _ bf beta & g ^ boldsymbol * _ bf alpha g ^ boldsymbol * _ bf b eta end bmatrix _ bf e etiqueta ed-03 etiqueta eqed-03 end ecuación
Pero el $ ; SU (2) ; $ las transformaciones en eqref eqed-02a, eqref eqed-02b representan rotaciones en el espacio real $ ; mathbb R ^ 3 ; $ donde ambas partículas viven, por lo que deben ser idénticas (no rotaríamos un sistema de manera diferente al otro)
begin ecuación ^ bf 2 U _ bf alpha = , ^ bf 2 U _ bf beta = , ^ bf 2 U = MM : : g h boldsymbol – h ^ boldsymbol * : : g ^ boldsymbol * ,, quad gg ^ boldsymbol * boldsymbol + hh ^ boldsymbol * = 1 etiqueta ed-04 label eqed-04 end ecuación
para que eqref eqed-03 produzca
begin ecuación ^ bf 4 U_ f = left (^ bf 2 U _ bf alpha right) boldsymbol otimes left (^ bf 2 U _ bf beta right) = left (^ bf 2 U right) ^ boldsymbol otimes 2 = begin bmatrix : g ^ 2 & : : gh & : hg & ! ! ! h ^ 2 \ boldsymbol – gh ^ boldsymbol * & hphantom boldsymbol – gg ^ boldsymbol * & boldsymbol – hh ^ boldsymbol * & hg ^ boldsymbol * \ boldsymbol – h ^ boldsymbol * g & , boldsymbol – h ^ boldsymbol * h & hphantom boldsymbol – g ^ boldsymbol * g & g ^ boldsymbol * h \ hphantom boldsymbol – h ^ boldsymbol * 2 & : : boldsymbol – h ^ boldsymbol * g ^ boldsymbol * & : : boldsymbol – g ^ boldsymbol * h ^ boldsymbol * & g ^ boldsymbol * 2 end bmatrix _ bf e tag ed-05 label eqed-05 end ecuación
Esta matriz expresada en la base de la suma directa irreducible eqref eqed-01 es
begin ecuación ^ bf 4 OSS U _ f = begin bmatrix begin array c : : 1 : : & regla [0ex]20pt 0.0ex & regla [-2.5ex]0pt 6.0ex regla [0ex]16pt 0ex & regla [0ex]16pt 0ex \ hline rule [-3ex]0pt 6ex & g ^ 2 & sqrt 2 gh & h ^ 2 \ rule [-3ex]0pt 6ex & – sqrt 2 gh ^ boldsymbol * & left (gg ^ boldsymbol * – hh ^ boldsymbol * right) & sqrt 2 g ^ boldsymbol * h \ regla [-3ex]0pt 6ex & left (h ^ boldsymbol * right) ^ 2 & – sqrt 2 g ^ boldsymbol * h ^ boldsymbol * & left (g ^ boldsymbol * right) ^ 2 end array end bmatrix _ : mathbf f = begin bmatrix begin array c ^ mathbf 1 U _ boldsymbol left[1right]®la [0ex]20pt 0.0ex & regla [-2.5ex]0pt 6.0ex regla [0ex]16pt 0ex & regla [0ex]16pt 0ex \ hline rule [-3ex]0pt 6ex & regla [0.0ex]50pt 0.0ex & regla [0.0ex]50pt 0.0ex & regla [0.0ex]50pt 0.0ex \ regla [-3ex]0pt 6ex & & ^ mathbf 3 U _ boldsymbol left[2right] & \ regla [-3ex]0pt 6ex & & & end array end bmatrix _ : mathbf f etiqueta ed-06 label eqed-06 end ecuación
dónde $ : ^ mathbf 1 U _ { boldsymbol { left[1right]PS y $ : ^ mathbf 3 U _ { boldsymbol { left[2right]PS son matrices unitarias especiales en los espacios del singlete y del triplete respectivamente dadas por
begin ecuación ^ mathbf 1 U _ boldsymbol left[1right] = begin bmatrix 1 end bmatrix quad in SU (1) equiv 1 tag ed-07 label eqed-07 end ecuación
begin ecuación ^ mathbf 3 U _ boldsymbol left[2right] = begin bmatrix g ^ 2 & sqrt 2 gh & h ^ 2 rule [-3ex]0pt 6ex \ – sqrt 2 gh ^ boldsymbol * & left (gg ^ boldsymbol * – hh ^ boldsymbol * right) & sqrt 2 g ^ boldsymbol * h regla [-3ex]0pt 6ex \ left (h ^ boldsymbol * right) ^ 2 & – sqrt 2 g ^ boldsymbol * h ^ boldsymbol * & left (g ^ boldsymbol * right) ^ 2 rule [-3ex]0pt 6ex end bmatrix quad in SU (3) tag ed-08 label eqed-08 end ecuación
Entonces, si aplicamos el $ ; SU (2) ; $ transformación $ : ^ bf 2 U : $ de eqref eqed-04 en ambos espacios en el producto de lhs de eqref eqed-01 entonces los espacios de los términos de la suma directa del lado derecho de la misma ecuación permanecen invariantes, el singlete eqref eq02.1 invariante bajo $ ; SU (1) ; $ (más exactamente sin cambios) y el triplete eqref eq02.2 transformado bajo $ ; SU (3) ; $ permaneciendo en su espacio invariante.
Decimos que el grupo de simetría es $ ; SU (2) $, NO $ ; SU (1) ; $ o $ ; SU (3) ; $ de los multipletes resultantes.
Enlace de referencia: Spin total de dos partículas spin-1/2.
$ color azul textbf Ejemplo B: $ El modelo de quarks de bariones que consta de tres quarks. Entonces, supongamos que solo conocemos la existencia de tres quarks: $ boldsymbol u $, $ boldsymbol d $ y $ boldsymbol s $. Bajo simetría completa (la misma masa) estos son los estados básicos, sea
begin ecuación boldsymbol u = begin bmatrix 1 \ 0 \ 0 end bmatrix qquad boldsymbol d = begin bmatrix 0 \ 1 \ 0 end bmatrix qquad boldsymbol s = begin bmatrix 0 \ 0 \ 1 end bmatrix tag ed-09 label eqed-09 end ecuación
de un complejo tridimensional de Hilbert espacio de quarks, digamos $ mathbf Q equiv mathbb C ^ boldsymbol 3 $. Un quark $ boldsymbol xi in mathbf Q $ se expresa en términos de estos estados básicos como
begin ecuación boldsymbol xi = xi_1 boldsymbol u + xi_2 boldsymbol d + xi_3 boldsymbol s = begin bmatrix xi_1 \ xi_2 \ xi_3 end bmatrix qquad xi_1, xi_2, xi_3 in mathbb C tag ed-10 label eqed-10 end ecuación
Tomemos 2 quarks más para construir bariones a partir de 3 quarks
begin ecuación boldsymbol eta = eta_1 boldsymbol u + eta_2 boldsymbol d + eta_3 boldsymbol s = begin bmatrix eta_1 \ eta_2 \ eta_3 end bmatrix :, qquad boldsymbol zeta = zeta_1 boldsymbol u + zeta_2 boldsymbol d + zeta_3 boldsymbol s = begin bmatrix zeta_1 zeta_2 \ zeta_3 end bmatrix tag ed-11 label eqed-11 end ecuación
Un estado bariónico $ : T : $ en el espacio del producto
begin ecuación mathbf B = boldsymbol 3 boldsymbol otimes boldsymbol 3 boldsymbol otimes boldsymbol 3 = mathbf Q boldsymbol otimes mathbf Q boldsymbol otimes mathbf Q equiv mathbb C ^ boldsymbol 3 boldsymbol otimes mathbb C ^ boldsymbol 3 boldsymbol otimes mathbb C ^ boldsymbol 3 = mathbb C ^ boldsymbol 27 tag ed-12 label eqed-12 end ecuación
es el producto de los estados de los 3 quarks anteriores
begin ecuación T = boldsymbol xi boldsymbol otimes boldsymbol eta boldsymbol otimes boldsymbol zeta tag ed-13 label eqed-13 end ecuación
El resultado final de un análisis completo es
begin ecuación boldsymbol 3 boldsymbol otimes boldsymbol 3 boldsymbol otimes boldsymbol 3 = boldsymbol 1 boldsymbol oplus boldsymbol 10 boldsymbol oplus boldsymbol 8 ^ boldsymbol prime boldsymbol oplus boldsymbol 8 tag ed-14 label eqed-14 end ecuación
ese es el espacio de estados de un barión es la suma directa de un singlete $ ; boldsymbol 1 $, un decuplete $ ; boldsymbol 10 $, a mixed octeto simétrico $ ; boldsymbol 8 ‘ $ y un mixed octeto antisimétrico $ ; boldsymbol 8 $.
Ahora aplicando un $ ; SU (3) ; $ transformación $ ; ^ bf 3 U ; $ en el espacio tridimensional $ mathbf Q equiv mathbb C ^ boldsymbol 3 $ resulta en un $ ; SU (27) ; $ transformación $ ; ^ bf 27 U ; $ en el espacio de 27 dimensiones $ ; mathbf B ; $ de la ecuación eqref eqed-12
begin ecuación ^ bf 27 U = left (^ bf 3 U right) boldsymbol otimes left (^ bf 3 U right) boldsymbol otimes left (^ bf 3 U right) = left (^ bf 3 U right) ^ boldsymbol otimes 3 tag ed-15 label eqed- 15 end ecuación
El espacio de cada uno $ ; m- $plet permanece invariante y un estado en este $ ; m- $plet se transforma bajo un $ ; SU (m) ; $ transformación, donde $ ; m = 1,10,8,8 $. Pero
Decimos que el grupo de simetría es $ ; SU (3) $, NO $ ; SU (1) ; $ o $ ; SU (10) ; $ o $ ; SU (8) ; $ de los multipletes resultantes.
Enlace de referencia: Simetría en términos de matrices.
Según lo instado por @rob, aquí está la respuesta concisa:
Isospin SU (2) tiene una representación de doblete, (u, d); una representación de triplete, los 3 πs; una representación de isocuarteto, los 4 Δs; y así sucesivamente … Ya sabes esto por el momento angular, ya que, SU (2) ~ SO (3) es también el grupo de rotaciones / momento angular, excepto aquí en el isospacio, un espacio nocional abstracto: los dobletes de espín, espín 1/2, corresponden a isodoublets aquí, u, d quarks. Los tripletes de espín, espín 1, como los 3 vectores, corresponden a los isotriptos, los piones. Los cuartetos de espín, espín 3/2, corresponden a los cuatro bariones Δ, etc … Todos los irreps SU (2) son reales (en un sentido ligeramente técnico … incluso los espinores).
Ahora, a diferencia de SU (2), el sabor SU (3) tiene un verdadero complejo representación, un triple (u, d, s); una representación de octeto real; un decuplet complejo, etc …
Ahora considera un triplete real de piones, por lo tanto, un 3-vector real. Usted sabe que este vector se transforma bajo SO (3) ~ SU (2), al igual que las rotaciones de los vectores reales, por lo que el grupo es el isospín SU (2) como se indica.
Sin embargo, si fuera un espinor, en cambio, un triplete complejo, haría tiene que transformar bajo un SU (3): no podría restringir el número de transformaciones independientes de sus componentes a SO (3), y estaría atascado con SU (3), ocho direcciones de transformación independientes.
Esto es lo que dicta SU (3) para un triplete complejo de quarks, (u, d, s); aunque, históricamente, la lógica fue al revés: ¡el triplete complejo fue sugerido por la representación fundamental del sabor SU (3), inferida por el octeto del mesón real!
- En caso de que le desconcierta el complejo $ pi ^ pm equiv ( pi ^ 1 pm i pi ^ 2) / sqrt 2 $, esto es solo la reescritura vectorial esférica de los componentes cartesianos $ pi ^ 1, pi ^ 2 $, por lo que, en teoría, el pión sigue siendo un triplete real.
Si posees alguna vacilación y forma de perfeccionar nuestro escrito puedes realizar una disquisición y con gusto lo analizaremos.