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Solución:
Aquí hay un punto de vista ligeramente abstracto: cuando decimos $ A subseteq B $, en realidad no queremos decir eso $ A $ es literalmente un subconjunto de $ B $. El símbolo $ subseteq $ y sus primos $ subconjunto, supset, subsetneq, supsetneq, dots $ son sensibles al contexto. Si $ A $ y $ B $ se consideran conjuntos, entonces los símbolos de subconjunto significan lo que le enseñaron que significan. Pero cuando $ A $ y $ B $ tener alguna estructura adicional, como grupos, espacios vectoriales, espacios métricos, campos, etc., luego $ A subseteq B $ medio:
“Existe un homomorfismo inyectivo natural, es decir, de alguna manera sensible $ i: A longrightarrow B $, y de ahora en adelante queremos decir $ i (A) $ cuando escribimos $ A $. “
Lo que es un homomorfismo depende del tipo exacto de estructura que estemos viendo. Si se trata de grupos, nos referimos a un homomorfismo de grupo. Si se trata de espacios vectoriales, nos referimos a mapas lineales. Si se trata de campos topológicos (campos equipados con una topología tal que la suma, la multiplicación y la inversión son continuas), entonces nos referimos al homomorfismo de campo continuo.
Algunos autores intentan evitar esta sobrecarga de $ subseteq $ especificando que $ subseteq $ literalmente significa un subconjunto y $ leq $ significa lo que escribí arriba. Pero si me preguntas, en el panorama general, no es de ninguna ayuda distinguir entre los dos casos. No puedo pensar en un solo caso en el que realmente nos importe que, por ejemplo, $ mathbb R $ no es literalmente un subconjunto de $ mathbb C $ según la construcción estándar de $ mathbb C $. Solo nos importa cómo se comportan las cosas, no cómo se ven. Y $ mathbb C $ contiene un subconjunto único que, si está equipado con las operaciones de campo restringidas, se comporta exactamente como $ mathbb R $. Y es engorroso escribir siempre “$ mathbb C $ contiene un subcampo isomorfo a $ mathbb R $“en lugar de simplemente escribir”$ mathbb C $ contiene $ mathbb R $“. Así que hacemos lo último.
Además, aquí hay una forma mejor y menos ambigua de hablar sobre el tema: dejemos $ F $ ser un campo. Un subcampo de $ F $ es un par $ (E, i) $, donde $ E $ es un campo y $ i: E a F $ es un homomorfismo de campo inyectivo (los homomorfismos de campo son automáticamente inyectivos, pero la inyectividad es necesaria para otras estructuras). Los subcampos “clásicos” en el sentido de subconjuntos que también son campos son subcampos en este sentido si tomamos el mapeo de inclusión natural como $ i $. Y si $ i $ está claro por el contexto, solo decimos $ E $ ser un subcampo de $ F $. Toma esta definición y luego di $ mathbb R $ es un subcampo de $ mathbb C $, sin utilizar el símbolo de subconjunto. De todos modos, es lo que nos importa: ese es un subcampo del otro.
Este es en realidad uno de los problemas con la idea de construir matemáticas únicamente en conjuntos como fundamentos. Si lo tomamos estricta y formalmente, obtenemos varias declaraciones que pueden o no ser true, sujeto a cómo hemos construido o no un objeto en particular. Por ejemplo, se pone aún peor de lo que estás hablando: en una construcción puramente teórica de conjuntos, números naturales también son conjuntos, por lo que podemos preguntarnos si, digamos,
$$ 1 subseteq 3 $$
y la respuesta a esto es “¡depende de la construcción de la teoría de conjuntos”!
Para mí, lo que sugiero es que este problema recuerda mucho a uno que se ve a menudo en la programación de computadoras: en las computadoras, tenemos algo similar en el sentido de que todo con lo que trabajamos (imágenes, sonido, texto, lo que sea) finalmente queda representado por el mismas “cosas”: bits. Y así, si uno no tiene salvaguardas, puede intentar interpretar, digamos, los bits correspondientes al texto como una imagen, o una imagen como texto, o viceversa. Por supuesto, lo que obtendrá será en su mayoría revueltas y tonterías, pero puede hacerlo, y a la computadora no le importará.
Entonces, para lidiar con esto, necesitamos alguna forma de codificar esa información semántica, que estos dos pedazos de bits son semánticamente diferente – en el idioma en cuestión.
Y la forma en que se maneja en la programación de computadoras es usar lenguajes de programación que requieren una tipo de datos, para disuadir al programador de mezclar arbitrariamente diferentes conjuntos de bits que están destinados a representar diferentes cosas. La escritura de datos adjunta una etiqueta semántica a cada bit de datos para decir que debe representar una imagen, un texto o un número, digamos, y luego no puede, en el mismo programa, mezclar libremente los dos.
Asimismo, este concepto no es desconocido en matemáticas: la “teoría de tipos” explora un array de sistemas y lenguajes fundamentales que usan algo muy similar y, de hecho, ambos campos de aplicación están estrechamente relacionados, pero no es la base del “consenso estándar” para las matemáticas.
Pero si usáramos una base mecanografiada, sugeriría que la respuesta sería mejor como “no, pero”: los números reales son no un subconjunto de números complejos, pero tenemos la regla de “tipo coerción”
$$ x mapsto (x, 0) $$
lo que nos permite “actualizar” un número real, si se combina con un número complejo en una expresión, a un número complejo. Tales reglas a menudo también aparecen en los lenguajes de programación, como acabo de mencionar. En general, deben definirse junto con los tipos en cuestión, pero generalmente se basan en si existen o no correspondencias “naturales” del tipo que está percibiendo aquí.
1.- Como ya dijiste en tu pregunta, no: formalmente no podemos decir que los reales sean ni siquiera un subconjunto de los números complejos. Sin embargo, hay muchas formas en las que podemos empotrar$ ; Bbb R ; $ en $ ; Bbb C ; $ de tal forma que se mantienen las características básicas de estos dos campos, y uno de los isomorfismos más habituales (= incrustaciones respetando la estructura algebraica) es precisamente $ ; phi: Bbb R a Bbb C ;, ; ; phi (r): = r + 0 cdot i ; $ , o si prefieres la otra definición muy habitual, $ ; phi (r): = (r, 0) ; $. De esta manera, los números reales se convierten no solo en un subconjunto sino, como se dijo, en un subcampo del campo $ ; Bbb C ; $ .
2.- Sí, podemos definir $ ; Bbb C ; $ como el cierre algebraico de $ ; Bbb R ; $ , obteniendo una extensión de campos de grado dos, y en la que de una manera bastante canónica, el campo base $ ; Bbb R ; $ está incrustado en un campo de extensión $ ; Bbb C ; $ . En el sentido de un teorema de Artin, esta es la única extensión algebraica posible del grado dos de un campo cerrado real.
Acuérdate de que tienes concesión de decir si te fue de ayuda.