Solución:
Es necesario hacer una distinción entre usos puramente geométricos de números complejos y usos en la teoría de ecuaciones (polinomios, funciones racionales, etc.). Obviamente, existe una gran superposición, pero algunos libros tratan principalmente de un aspecto u otro.
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Parsonson (1971). Matemáticas puras, vol. 2 (ambos). El material sobre números complejos y ecuaciones ocupa aproximadamente la primera mitad del libro. Problemas desafiantes, similares a los papeles STEP o los niveles S antiguos.
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Ferrar (1943). Álgebra superior (ambos). Aproximadamente 60 páginas sobre aplicaciones geométricas / trigonométricas y 100 sobre teoría de ecuaciones. Problemas iguales o superiores a la dificultad de Parsonson. No confundir con la del mismo autor. Álgebra superior para escuelas.
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Durell y Robson (1930, 1937). Álgebra avanzada, Volumen II y Trigonometría avanzada (ambos). Estoy menos familiarizado con estos libros, pero sé que fueron los libros estándar sobre estos temas a nivel de certificado / beca superior en Inglaterra durante muchos años. Pueden descargarse aquí.
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Hahn (1994). Números complejos y geometría (geometría).
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Andreescu y Andrica (2005). Números complejos de la A a la … Z (geometría). No conozco bien los dos últimos libros, pero se recomiendan en imomath.com. Parecen ser principalmente sobre geometría y tienen poco sobre la teoría de ecuaciones en comparación con Parsonson y Ferrar. El libro de Andreescu y Andrica está muy enfocado en el uso de números complejos para hacer geometría de coordenadas (incluidos los casos en los que esto da como resultado cálculos de páginas), y viene con soluciones a los ejercicios.
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Colin y Morvan (2011). Nombres complexes, polynômes et fractions rationnelles. Después de presentar brevemente la teoría, la mayor parte del libro está dedicada a presentar soluciones detalladas a ejercicios sobre estos temas.
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Gautier, Girard, Gerll, Thiercé, Warusfel (1971). Aleph 0. Algèbre, Terminale CDE: nombres réels, calcul numérique, nombres complexes (ambos). La mayor parte de este libro está dedicada a los usos geométricos y algebraicos de números complejos. Nivel similar o ligeramente inferior al de Parsonson, pero con un tratamiento más detallado.
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Engel (2009). Komplexe Zahlen und ebene Geometrie. Además del material básico, este libro analiza la esfera de Riemann y ofrece algunas visualizaciones por computadora en MAPLE.
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Kretzschmar (2011). Komplexe Zahlen für Dummies. ¡El título habla por sí mismo! Incluyo este título solo por diversión, ya que parece estar dirigido a usuarios muy elementales como los de electrónica.
El libro de Engel ofrece una prueba analítica del teorema fundamental del álgebra. Desafortunadamente, no creo que ninguno de los otros libros lo pruebe.
Hay un libro de Yaglom llamado Números complejos en geometría, pero en realidad trata temas que están muy lejos de lo que se suele pensar con este título. El libro Geometría de números complejos de Schwerdtfeger trata temas avanzados.
Los libros sobre análisis complejo definitivamente usan los temas que mencionó, pero generalmente asumen que el lector ya está familiarizado con algo de álgebra y geometría de números complejos. El libro Análisis complejo visual de Tristan Needham es una excelente introducción al análisis complejo que no omite los fundamentos que mencionaste. En particular, el primer capítulo incluye secciones detalladas sobre las raíces de la unidad, la geometría del plano complejo, la fórmula de Euler y una demostración muy clara del teorema fundamental del álgebra. Los ejercicios del capítulo uno cubren todos esos temas y también desarrollan muchas identidades. El libro de Needham tiene un tono y una estructura más amigables y atractivos que cualquier otro libro de análisis que haya leído; Me encantó estudiarlo en mi curso de análisis complejo de pregrado.