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Solución:
El espacio $L^0(Omega)$ de todas las variables aleatorias en un espacio muestral fijo $Omega$ es un espacio vectorial: la suma (en cuanto al resultado) de dos variables aleatorias es una variable aleatoria, y un múltiplo escalar de una variable aleatoria es nuevamente una variable aleatoria. Entonces, en ese sentido, las variables aleatorias pueden verse como “vectores” porque son los elementos de un espacio vectorial.
Por “producto escalar” probablemente se refieren a la $L^2$ producto interior, definido por $ángulo X, Y rángulo = E[XY]ps. Esto obedece a las mismas propiedades algebraicas básicas que el producto escalar euclidiano ordinario: bilineal (con respecto a la suma y la multiplicación escalar descritas anteriormente), simétrico, definido positivo. Estrictamente hablando, este producto interno no necesariamente vive en $L^0(Omega)$sino más bien en el subespacio vectorial $L^2(Omega) subconjunto L^0(Omega)$ que consta de variables aleatorias con segundo momento finito.
Para dos variables discretas conjuntas, la expectativa de su producto es un producto punto ponderado de sus vectores de valor (todos los valores diagonales son positivos, lo que hace que la matriz diagonal sea definida positiva):
$$ mathbfE[XY] = sum_i=1^n p_i x_i y_i = (x_1,…,x_n) beginpmatrix p_1 & … & 0\ vdots & ddots & vdots \ 0 & . ..& p_n endpmatriz (y_1,…,y_n)^T$$
Aquí, $(X,Y)$ posee $n$ realizaciones posibles $(x_i, y_i)$ con probabilidades $p_i$, $i=1,…,n$.
Supongamos que tiene una colección de $n$ muestras de variables dependientes (en general) $X$ y $Y$: $(x_1, y_1), (x_2, y_2), ldots, (x_n, y_n)$
Entonces podemos ver esta colección de $n$ muestras como un par de vectores en $matemáticasR^n$: $(x_1, x_2, ldots, x_n)$ y $(y_1, y_2, ldots, y_n)$.
Entonces, lo que dice su colega es que podemos ver la correlación entre $X$ y $Y$ como una especie de producto interno normalizado entre estos dos vectores.
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