Solución:
El producto escalar te dice qué cantidad de un vector va en la dirección de otro. Por ejemplo, si sacó una caja de 10 metros en un ángulo inclinado, hay un componente horizontal y un componente vertical en su vector de fuerza. Entonces, el producto escalar en este caso le daría la cantidad de fuerza que va en la dirección del desplazamiento, o en la dirección en que se movió la caja. Esto es importante porque el trabajo se define como la fuerza multiplicada por el desplazamiento, pero la fuerza aquí se define como la fuerza en la dirección del desplazamiento.
Significado geométrico
Como han señalado otras respuestas, el producto escalar $ vec {a} cdot vec {b} $ está relacionado con el ángulo $ theta $ Entre $ vec {a} $ y $ vec {b} $ mediante:
$$ vec a cdot vec b = Vert vec a Vert_2 , Vert vec b Vert_2 , cos theta $$
Asumiendo que $ a $ y $ b $ apuntar en direcciones similares, es decir, $ theta leq 90 ° $, podemos visualizar lo que significa esta relación (omitiendo las flechas vectoriales y el subíndice de la norma euclidiana de ahora en adelante):
$ p $ es el vector resultante de una proyección ortogonal de $ a $ sobre $ b $. Como el $ cos $ es la relación entre el cateto adyacente ($ p $) y la hipotenusa ($ a $) en el triángulo rectángulo, es decir,
$$ cos theta = frac { Vert p Vert} { Vert a Vert}, $$
obtenemos por el producto interior:
$$ a cdot b = Vert a Vert , Vert b Vert , frac { Vert p Vert} { Vert a Vert} = Vert p Vert Vert b Vert $$
Entonces, el producto interno es la longitud del vector $ p $, la proyección de $ a $ sobre $ b $, multiplicado por la longitud de $ b $. Si $ a $ y $ b $ apuntar en direcciones opuestas, es decir, $ 90 ° < theta leq 180 ° $, el producto escalar será el negativo: $ a cdot b = – Vert p Vert Vert b Vert $
Derivación
El problema es que la relación entre el producto escalar y el ángulo $ theta $ no se da de forma inherente. Por definición:
$$ a cdot b = sum_i a_i b_i $$
Entonces, necesitamos encontrar un vínculo entre esto y el coseno. De la definición del producto escalar, podemos ver que escala proporcionalmente con los vectores de entrada, por lo que para los vectores no unitarios $ u $ y $ v $ con los vectores unitarios correspondientes $ hat {u} $ y $ hat {v} $:
$$ u cdot v = Vert u Vert cdot Vert v Vert cdot hat {u} cdot hat {v} $$
Por simplicidad, asumiremos $ a $ y $ b $ ser vectores unitarios. Por lo tanto, solo necesitamos mostrar
$$ a cdot b = cos theta $$
o, por la definición de $ cos $, necesitamos mostrar:
$$ a cdot b = Vert p Vert $$
Calculemos la longitud de la proyección. $ p $ utilizando $ a $ y $ b $. Podemos comenzar usando el teorema de Pitágoras:
$$ Vert p Vert ^ 2 = Vert a Vert ^ 2 – Vert c Vert ^ 2 $$
Porque $ a $ es un vector unitario:
$$ Vert p Vert ^ 2 = 1 – Vert c Vert ^ 2 $$
Ahora, necesitamos calcular la longitud de $ c $ usando el otro triángulo rectangular. Nuevamente, usamos el hecho de que $ b $ es un vector unitario, es decir, $ Vert b Vert = 1 $.
$$ begin {align} Vert c Vert ^ 2 & = Vert d Vert ^ 2 – ( Vert b Vert – Vert p Vert) ^ 2 \ & = Vert d Vert ^ 2 – (1 – Vert p Vert) ^ 2 \ & = Vert d Vert ^ 2 – 1 + 2 Vert p Vert – Vert p Vert ^ 2 end {align} $$
Ahora, podemos insertar este término para $ Vert c Vert ^ 2 $ en la ecuación anterior:
$$ begin {align} Vert p Vert ^ 2 & = 1 – Vert d Vert ^ 2 + 1-2 Vert p Vert + Vert p Vert ^ 2 \ 0 & = 2 – Vert d Vert ^ 2 – 2 Vert p Vert \ 2 Vert p Vert & = 2 – Vert d Vert ^ 2 end {align} $$
En la figura, vemos que $ vec a + vec d = vec b $. Por lo tanto, $ vec d = vec b – vec a $, o:
$$ d_i = b_i – a_i $$
Por lo tanto, podemos expresar $ Vert d Vert ^ 2 $ como:
$$ begin {align} Vert d Vert ^ 2 & = sum_i d_i ^ 2 \ & = sum_i (b_i – a_i) ^ 2 \ & = sum_i b_i ^ 2 – 2 b_i a_i + a_i ^ 2 \ & = sum_i b_i ^ 2 – sum_i 2 b_i a_i + sum_i a_i ^ 2 \ & = Vert b Vert ^ 2 – sum_i 2 b_i a_i + Vert a Vert ^ 2 \ & = 1 – sum_i 2 b_i a_i + 1 \ & = 2 – 2 sum_i b_i a_i end {align} $$
Finalmente:
$$ begin {align} 2 Vert p Vert & = 2 – Vert d Vert ^ 2 \ & = 2 – (2 – 2 sum_i b_i a_i) \ & = 2 sum_i b_i a_i \ Vert p Vert & = sum_i b_i a_i end {align} $$
qed
Podría ser útil pensar en la multiplicación de números reales de una manera más geométrica. $ 2 $ por $ 3 $ es la longitud del intervalo que obtiene comenzando con un intervalo de longitud $ 3 $ y luego estirando la línea por un factor de $ 2 $.
Para el producto escalar, además de esta idea de estiramiento, necesita otra idea geométrica, a saber, proyección. Imagine la línea $ L $ paralela a $ vec b $ que pasa por el origen $ O $. Ahora imagina proyectar desde la punta del vector $ vec a $, a lo largo de una línea perpendicular a $ L $, hasta llegar a $ L $ en un punto $ P $. El producto escalar $ vec a cdot vec b $ es la longitud del segmento de línea que se obtiene al comenzar con el segmento de línea $ OP $ y luego estirar el plano en un factor igual a la longitud de $ vec b $.
Estoy siendo un poco descuidado con los signos más y menos, pero esos también se pueden incorporar en esta imagen.