Nuestros investigadores estrellas agotaron sus reservas de café, en su búsqueda diariamente por la resolución, hasta que Penélope halló el hallazgo en Gitea y ahora la comparte con nosotros.
Solución:
El producto de dos variables aleatorias gaussianas se distribuye, en general, como una combinación lineal de dos variables aleatorias Chi-cuadrado:
$$ XY ,=, frac14 (X+Y)^2 – frac14(XY)^2$$
Ahora, $X+Y$ y $XY$ son variables aleatorias gaussianas, por lo que $(X+Y)^2$ y $(XY)^2$ tienen distribución Chi-cuadrado con 1 grado de libertad.
Si $X$ y $Y$ tienen media cero, entonces
$$ XY sim c_1 Q – c_2 R$$
donde $c_1=fracVar(X+Y)4$, $c_2 = fracVar(XY)4$ y $Q, R sim chi^2_1$ son centrales.
Las variables $Q$ y $R$ son independientes si y solo si $Var(X) = Var(Y)$.
En general, $Q$ y $R$ no son centrales y son dependientes.
Como mostró @Yemon Choi en la primera pregunta, sin ninguna hipótesis, la respuesta es negativa ya que $P(X^2<0)=0$ mientras que $P(U<0)neq 0$ si $U$ es gaussiano.
Para la segunda pregunta la respuesta también es no. Tome $X$ y $Y$ dos variables aleatorias gaussianas con media $0$ y varianza $1$. Como tienen la misma varianza, $XY$ y $X+Y$ son variables aleatorias gaussianas independientes. Escribe $Z:=fracX^2-Y^22=fracXYsqrt 2fracX+Ysqrt 2$. Entonces $Z$ es el producto de dos gaussianas independientes, pero la función característica de $Z$ es $varphi_Z(t)=frac 1sqrt1+t^2$, que no es la función característica de una Gaussiana.
Puedes usar momentos para ver que el producto $XY$ de normales independientes no puede ser normal excepto en casos triviales. Por trivial, me refiero a $mathbbV(X)mathbbV(Y)=0.$
Suponga que $X,Y$ son normales independientes, por lo que $XY$ es normal.
Caso 1: Supongamos que $mathbbE(X)=0$. Por independencia, $mathbbE(XY)=mathbbE(X)mathbbE(Y)=0$, por lo que $XY$ es media cero normal, y por lo tanto $$mathbbE ((XY)^4)=3mathbbE((XY)^2)^2.$$ Por independencia obtenemos
$$mathbbE(X^4)mathbbE(Y^4)=3mathbbE(X^2)^2mathbbE(Y^2)^2.$ $ O $mathbbV(X)=0$, o dividiendo por $mathbbE(X^4)$ da $ mathbbE(Y^4)= mathbbE(Y ^2)^2.$ Esto muestra que $Y^2$, y por lo tanto $Y$, tiene varianza cero.
Caso 2: Supongamos que $mathbbE(X^2)>0$ y $mathbbE(Y^2)>0$. Entonces, sin pérdida de generalidad, $mathbbE(X^2)=1$ y $mathbbE(Y^2)=1$. En este caso, también tenemos $mathbbE((XY)^2)=1$, entonces $$begineqnarray mathbbE(X^3)&=&mathbbE (X)(3-2mathbbE(X)^2)\ mathbbE(Y^3)&=&mathbbE(Y)(3-2mathbbE (Y)^2)\ mathbbE((XY)^3)&=&mathbbE(XY)(3-2mathbbE(XY)^2) endeqnarray $$ Restar el producto de las dos primeras líneas de la tercera línea da $$0=6mathbbE(X),mathbbE(Y),mathbbV(X), mathbbV(Y).$$ Estamos en un caso trivial o volvemos al Caso 1.
Así, el producto no puede ser normal excepto en casos triviales.
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