Te recomendamos que pruebes esta solución en un ambiente controlado antes de pasarlo a producción, saludos.
Solución:
Lo primero que debes preguntarte sobre los conjuntos finitos es esto: ¿Cuándo dos conjuntos tienen la misma cardinalidad?
La forma en que funcionan las matemáticas es tomar una propiedad que conocemos muy bien, y hacer nuestro mejor esfuerzo para extraer sus propiedades abstractas para describir algún tipo de construcción general que se aplique en tantos casos como sea posible.
Entonces, ¿cómo comparamos los tamaños de dos conjuntos finitos? Si podemos escribir una tabla, en una columna el conjunto $A$ y en la otra el conjunto $B$, y cada elemento de $A$ aparece en una única celda; y cada elemento de $B$ aparece en una única celda. Si esta tabla no tiene filas en las que haya un solo elemento, entonces los conjuntos $A$ y $B$ son iguales. Por ejemplo: $$beginarraylc textDos conjuntos iguales: & beginarraycA & a_1& a_2\hlínea B & b_1& b_2endarray \ textConjuntos no iguales: & beginarraycA & a_1 & a_2 & a_3\hline B & b_1 & b_2endarray & finarray$$
Está claro que este método captura exactamente cuando dos conjuntos tienen el mismo tamaño. No requerimos que un conjunto sea el subconjunto de otro; ni requerimos que compartan los mismos elementos. Solo requerimos que dicha tabla pueda ser construida.
Bueno, la generalización es simplemente decir que existe una función de $A$ a $B$ que es inyectiva y sobreyectiva, es decir, cada elemento de $A$ tiene un elemento único de $B$ adjunto; y cada elemento de $B$ tiene un elemento único de $A$ adjunto.
Sin embargo, resulta que esta noción tiene un pequeño detalle peculiar sobre los conjuntos infinitos: conjuntos infinitos pueden tener adecuado subconjuntos con las mismas cardinalidades.
¿Por qué está pasando esto? Bueno, el infinito es una bestia bastante extraña. Continúa sin fin y nos permite “moverse” y cambiar las cosas de una manera muy agradable. Por ejemplo, considere la siguiente tabla: $$beginarrayc mathbb N&0&1&cdots&n&cdots\hline mathbb Nsetminus & 1&2&cdots & n+1&cdots endarray$$
No es difícil ver que esta mesa tiene sin filas incompletas y que cada elemento del conjunto de la izquierda ($mathbb N$) aparece exactamente una vez, y cada elemento del conjunto de la derecha ($mathbb Nsetminus $) aparece exactamente una vez.
Esto puede volverse infinitamente más complicado, y así sucesivamente.
Uno puede preguntar, ¿Quizás lo estamos pensando de manera equivocada? Bueno, la respuesta es que es posible. Podemos definir “tamaño” de otras maneras. La cardinalidad es solo una forma. El problema es que hay ciertas propiedades que queremos que tenga la noción de “tamaño”. Queremos que esta noción sea antisimétrica y transitiva, por ejemplo.
Es decir, si $A$ es menor o igual que $B$ y $B$ es menor o igual en tamaño que $A$, entonces $A$ y $B$ tienen el mismo tamaño; si $B$ también tiene el mismo tamaño que $C$, entonces $A$ y $C$ también tienen el mismo tamaño. Resulta que la noción descrita por funciones posee estas propiedades. Otras nociones pueden carecer de uno o ambos. Algunas nociones de “tamaño” carecen de antisimetría, otras pueden carecer de transitividad.
Entonces resulta que la cardinalidad es bastante útil y funciona bastante bien. Sin embargo, tiene una peculiaridad… bueno, ¿quién no tiene uno en estos días?
Para superar esto, necesitamos cambiar un poco la forma en que pensamos: el subconjunto adecuado no necesita tener un estrictamente más pequeño cardinalidad solo debería haber no más grande cardinalidad Este es el derecho generalización del caso finito, en lugar del ingenuo “subconjunto estricto implica estrictamente más pequeño”.
Para leer más:
- ¿Hay alguna forma de definir el “tamaño” de un conjunto infinito que tenga en cuenta las diferencias “intuitivas” entre conjuntos?