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Solución:
Es más porque para los ingenieros, los períodos tienden a tener divisores comunes y, por lo tanto, la suma de dos funciones de períodos $nx$ y $mx$ con $n,m∈ℕ$ es entonces $mathrmlcm(n,m)x ps
Por ejemplo, en matemáticas el contraejemplo habitual es $sin(x)$ y $sin(xsqrt 2)$ y es difícil meterse en esa situación en la vida real.
Otro ejemplo, que resulta muy extraño y nunca sucederá en la práctica: existen dos funciones periódicas $f$ y $g$ tales que su suma es la función identidad en $mathbb R$ (sí, $∀x∈ℝ ~~f(x)+g(x)=x$). Pero esta vez, incluso en matemáticas es difícil encontrarse en esta situación. (Vea esto para saber cómo hacerlo, pero es un spoiler, es muy divertido investigarlo usted mismo).
Sean $f$ y $g$ dos funciones periódicas dos funciones continuas periódicas no constantes de $mathbbRrightarrowmathbbR$. Note $a>0$ el período más pequeño de f y $b$ el período más pequeño de g.
Encuentre una condición necesaria y suficiente para que f + g sea periódica.
Observe que si $b$ es un múltiplo de $a$, entonces $f+g$ es claramente periódico.
Además, ella $fracab in mathbbQ$, donde $fracab=fracpq$ entonces $aq=bp$ es claramente un período de $quad f +g$
Esta condición es realmente necesaria.
Prueba.
Por contradicción, supongamos $fracab notin mathbbQ$ y $f+g$ periódicas y $c$ el período más pequeño de g, $forall xin mathbbR$ tenemos , $$ f(x+c)+g(x+c)=f(x)+g(x), $$ Lo que es mejor reescribir en la forma invariante : $$ f(x+c)-f(x )=g(x)-g(x+c) $$ Denota $gamma(x)$ el valor común, entonces para $k,l$ entero encontramos $$ gamma(x + ka + lb) = f (x + ka + lb + c) – f (x + ka + lb) $$ $$ = f (x + lb + c) – f (x + lb) $$ $$ = gamma(x + lb) = g (x + lb + c) -g (x + lb) = g (x + c) -g (x) = gamma(x) $$ Por lo tanto, todo real de $amathbbZ+b mathbbZ$ es un período de $gamma$ pero $amathbbZ+bmathbbZ$ es denso en $mathbbR$ porque $fracab notin mathbbQ$.
Por lo tanto, $gamma$ es $epsilon$-periódica para todos los $epsilon$.
Como $gamma$ es continua, necesariamente es constante: $$ gamma=gamma_0 $$ Además, $$ f(Id+c) = f + gamma_0, $$ Entonces para toda x real tenemos, $$ f(x+nc)=f(x)+ngamma_0 $$ $$ Longrightarrow gamma_0=0 $$ porque $f$ es continuo y periódico, por lo que $f$ está acotado.
Por lo tanto, $c$ es un período común de $f$ y $g$.
Entonces $c$ está en $amathbbN^*bigcap bmathbbN^*$, pero está vacío porque $fracab notin mathbbQ$. QED
Tu pregunta es interesante pero un poco vaga. (Tampoco está completamente claro que sea un Matemáticas pregunta, pero creo que habrá contenido matemático).
Permítanme impulsar la discusión en lo que creo que es la dirección correcta. Sea $fracab$ cualquier número racional distinto de cero. Después
$f_a/b(x) = sin x + sin fracab x$ es periódico, por ejemplo, con período $2 pi b$
mientras
$g(x) = sin x + sin pi x$ no es periódico. (¡Esto no es completamente obvio! Vea aquí una buena prueba).
Sin embargo, hay números racionales $fracab$ que están arbitrariamente cerca de $pi$, por lo que la función no periódica $g$ es el límite de las funciones periódicas.
Creo que el quid de la cuestión es: todo el mundo tendría que estar de acuerdo (¿no?) en que cada una de las funciones $f_a/b$ se produce de forma natural en la ingeniería, por ejemplo, en el análisis más básico de armónicos. Desde una perspectiva matemática, la función $g$ parece igualmente “plausible” (y, matemáticamente hablando, es un límite puntual de “funciones naturales de ingeniería”). Pero, ¿eso implica que $g$ es una “función natural de ingeniería”? Talvez no…
O, para obtener un poco más de “meta”:
¿Es la noción de “funciones naturales de ingeniería” matemáticamente coherente? ¿Es natural o útil en ingeniería?
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