Te doy la bienvenida a proyecto online, en este sitio vas a hallar la respuesta de lo que estabas buscando.
Solución:
(muchas búsquedas bibliográficas y Matemática experimentos después…)
Las funciones elípticas habituales de Jacobi y Weierstrass tienen como “unidad de repetición” un paralelogramo (que se puede hacer romboidal o cuadrado mediante la elección adecuada de parámetros). Se sabe que además de los paralelogramos, los hexágonos pueden teselar el plano por traslación; entonces, ¿por qué no puede haber una función doblemente periódica que tenga una unidad de repetición hexagonal?
Resulta que AC Dixon (el tipo a cuyo libro sobre funciones elípticas se vinculó Hans), en un largo artículo de 1890 (!), Estudió una clase de funciones elípticas (que ahora lleva su nombre) basadas en la inversión de la integral abeliana.
$$intfracmathrm dtleft(1-t^3right)^2/3=t _2 F_1left(frac13quad frac23atop frac43mid t^3right)$$
donde $_2 F_1left(aquad batopcmid xright)$ es una función hipergeométrica gaussiana.
Hay dos de estas funciones elípticas de Dixon, $operatornamesm(z,0)=operatornamesm(z)$ y $operatornamecm(z,0)=operatornamecm(z )$, correspondientes al seno y coseno habituales respectivamente. Ambas funciones tienen un periodo real $pi_3=Bleft(frac13,frac13right)$ (donde $B(a,b)$ es la función beta) y un periodo complejo $pi_3exp(2i pi/3)$, y satisfacen las siguientes relaciones (que recuerdan las identidades trigonométricas usuales):
$$beginalign* &operatornamesmleft(fracpi_33-zright)=operatornamecm(z)\ &operatornamesm^3 (z)+nombre del operadorcm^3(z)=1\ &nombre del operadorsm^prime(z)=nombre del operadorcm^2(z),quad nombre del operadorcm^ prime(z)=-nombre del operadorsm^2(z) endalign*$$
y, lo más relevante para los propósitos de esta pregunta, una invariancia rotacional:
$$exp(-2ipi/3)operatornamesm(zexp(2ipi/3))=operatornamesm(z),quad operatornamecm(zexp (2ipi/3)) =nombre del operadorcm(z)$$
Los gráficos de las funciones de Dixon en la línea real no parecen muy interesantes:
pero, como ocurre con las funciones elípticas habituales, la diversión comienza en el plano complejo:
Estos gráficos de contorno muestran claramente la estructura hexagonal de las funciones de Dixon. Aquí hay un único “hexágono de período fundamental” para $operatornamesm(z)$:
Tenga en cuenta que una sección de la línea real (en las gráficas anteriores, $left(-fracpi_33,frac2pi_33right)$) corresponde a una cuerda del período hexagonal .
Ambas funciones elípticas de Dixon poseen tres polos (una vez que haya identificado los polos congruentes en el hexágono del período) y tres ceros dentro del hexágono fundamental. Por supuesto, uno podría seguir la ruta habitual y considerar que la “unidad de repetición” de la función de Dixon es un rombo particular; esto es equivalente; ya que el rombo se puede diseccionar apropiadamente en un hexágono regular y viceversa.
Las funciones elípticas de Dixon también se pueden expresar en términos de funciones elípticas de Weierstrass:
$$nombre del operadorsm(z)=frac6wpleft(z;0,frac127right)1-3wp^primeleft(z;0, frac127right)$$
$$operatornamecm(z)=frac3wp^primeleft(z;0,frac127right)+13wp^prime left(z; 0,frac127right)-1$$
(También hay expresiones para funciones de Dixon en términos de funciones elípticas de Jacobi, pero son bastante complicadas).
Finalmente, si está interesado en saber más sobre las funciones elípticas de Dixon (incluidas las aplicaciones combinatorias), este documento es un buen punto de partida.
A Matemática El cuaderno para aquellos interesados en explorar más el tema está disponible a pedido.
No me parece. Si hay exactamente dos periodos (no paralelos), entonces tenemos un paralelogramo, por lo que en tu caso debe haber al menos tres periodos independientes. Pero eso implica que la función es constante (o multivaluada), como se demuestra, por ejemplo, en este viejo libro de Dixon sobre funciones elípticas (ver §32 en la página 19).
Nos puedes reafirmar nuestro análisis fijando un comentario y valorándolo te lo agradecemos.