Sturm Liouville con condiciones de contorno periódicas

Ten en cuenta que en las ciencias cualquier problema casi siempre tiene más de una soluciones, de igual modo te enseñaremos lo más óptimo y eficiente.

Solución:

Escribiré $ a $ por $ sqrt 2 $ por simplicidad. La solución general de la ecuación homogénea $ y ” + 2y = 0 $ tiene la forma $$ y (x) = C cos (ax) + D sin (ax) $$ Usando el método de variación de parámetros para encontrar un solución particular del problema no homogéneo, tenemos que determinar $ C $ y $ D $ con $$ eqalign C ‘ cos (ax) + D’ sin (ax) & = 0 cr -C ‘ sin (ax) + D ‘ cos (ax) & = – frac 1 a f (x) $$ Esto produce $$ C’ = frac 1 a sin (ax) f (x), quad D ‘= – frac 1 a cos (ax) f (x) $$ Por lo tanto, la solución general de $ y’ ‘+ 2y + f = 0 $ está dada por $ $ eqalign y (x) & = c cos (ax) + d sin (ax) + frac cos (ax) a int_0 ^ x sin (at) f (t) dt – frac sin (ax) a int_0 ^ x cos (at) f (t) dt \ & = c cos (ax) + d sin (ax) – frac 1 a int_0 ^ x sin (ax-at) f (t) dt $$ y $$ y ‘(x) = – ac sin (ax) + ad cos (ax) – int_0 ^ x cos (ax-at) f (t) dt $$ Ahora, las condiciones $ y (0) = y (2 pi) $ y $ y ‘(0) = y’ (2 pi) $ nos dan dos ecuaciones:

$$ eqalign c & = c cos (2a pi) + d sin (2a pi) – frac 1 a int_0 ^ 2 pi sin (2a pi-at ) f (t) dt cr ad & = -ac sin (2a pi) + ad cos (2a pi) – int_0 ^ 2 pi cos (2a pi-at) f (t) dt $$ Esto se puede organizar de la siguiente manera $$ eqalign c sin (a pi) -d cos (a pi) & = – frac 1 2a sin (a pi) int_0 ^ 2 pi sin (2a pi-at) f (t) dt cr c cos (a pi) + d sin (a pi) & = – frac 1 2a sin (a pi) int_0 ^ 2 pi cos (2a pi-at) f (t) dt $$ Resolviendo para $ c $ y $ d $ obtenemos $$ eqalign c & = – frac 1 2a sin (a pi) int_0 ^ 2 pi ( cos (2a pi-at) cos (a pi) + sin (a pi ) sin (2a pi-at)) f (t) dt cr & = – frac 1 2a sin (a pi) int_0 ^ 2 pi cos (a pi -at) f (t) dt cr d & = – frac 1 2a sin (a pi) int_0 ^ 2 pi ( cos (2a pi-at) sin (a pi) – cos (a pi) sin (2a pi-at)) f (t) dt cr & = frac 1 2a sin (a pi) int_0 ^ 2 pi sin (a pi-at) f (t) dt cr $$ Finalmente $$ eqalign y (x) & = frac -1 2a sin (a pi) int_0 ^ 2 pi big ( cos (ax) cos (a pi-at) – sin (ax) sin (a pi-at) big) f (t) dt \ & phantom = – frac 1 a int_0 ^ x sin (ax-at) f (t) dt \ & = frac -1 2a sin (a pi) int_0 ^ 2 pi cos (a pi + ax-at) f (t) dt- frac 1 a int_0 ^ x sin (ax-at) f (t) dt $$ Esta expresión de $ y $ se puede simplificar de la siguiente manera: $$ eqalign ) f (t) dt $$ Por lo tanto, $$ y (x) = int_0 ^ 2 pi G (x, t) f (t) dt $$ con $$ G (x, t) = frac xt 2 sqrt 2 sin ( sqrt 2 pi). $$ que es la conclusión deseada. $ qquad square $.

La función de Green es la solución cuando $ f (x) = delta (x-x_s) $, donde $ x_s $ es algún tipo de posición de fuente puntual que fuerza al sistema. Supongamos que $ x_s in (0,2 pi) $. Para $ x neq x_s $, la función delta es cero, por lo que resolvemos la ecuación homogénea $$ left | empezararray cc y ” + 2y = 0, & xx_s end array Derecha. $$ Y nos preocuparemos por lo que suceda justo en $ x = x_s $ en un momento. Las ecuaciones homogéneas presentadas se resuelven mediante senos y cosenos $$ y (x) = left { begin array cc A cos ( sqrt 2 x) + B sin ( sqrt 2 x), & xx_s \ end array Derecha. $$ Ahora, la primera condición de contorno es que $ y (0) = y (2 pi) $. Para el límite izquierdo, usamos la parte izquierda del $ y $ por partes de arriba, y para el límite derecho, usamos la parte derecha, por lo que se lee $$ A = C cos (2 sqrt 2 pi) + D sin (2 sqrt 2 pi) $$ Al hacer lo mismo con las condiciones derivadas, se obtiene $$ B = D cos left (2 sqrt 2 pi right) -C sin left (2 sqrt 2 pi right) $$ Ahora necesitamos condiciones para hacer coincidir la función delta. Esperamos que la solución sea continua en $ x = x_s $, entonces $$ A cos ( sqrt 2 x_s) + B sin ( sqrt 2 x_s) = C cos ( sqrt 2 x_s) + D sin ( sqrt 2 x_s) $$ Y luego está la condición de “salto” apropiada en la derivada en $ x = x_s $. Necesitamos que $ y $ sea lo suficientemente discontinuo para que tomar dos derivadas resulte en una función delta negativa. Esto significa que debe haber una discontinuidad de paso unitario negativo en la derivada: $$ – sqrt 2 A sin left ( sqrt 2 x_s right) + sqrt 2 B cos left ( sqrt 2 x_s right) -1 = sqrt 2 D cos left ( sqrt 2 x_s right) – sqrt 2 C sin left ( sqrt 2 x_s right) $$ Las anteriores son cuatro ecuaciones lineales en las cuatro incógnitas $ (A, B, C, D) $, que podemos formular como $$ left[
beginarraycccc
1 & 0 & -cos(2sqrt2pi) & -sin(2sqrt2pi) \
0 & 1 & sin left(2 sqrt2 pi right) & -cos left(2 sqrt2 pi right)\
cos(sqrt2x_s)&sin(sqrt2x_s)&-cos(sqrt2x_s)&-sin(sqrt2x_s) \
-sqrt2 sin left(sqrt2 x_sright)&sqrt2 cosleft(sqrt2 x_sright)&sqrt2sin left(sqrt2 x_sright)&-sqrt2cosleft(sqrt2 x_sright)
endarray
right]
izquierda[
beginarrayc
A\B\C\D
endarray
right] = izquierda[
beginarrayc
0\0\0\1
endarray
right]
$$ Resolver ese sistema después de algunas simplificaciones trigonométricas da $$ A = – frac cos left ( sqrt 2 (x_s- pi) right) 2 sqrt 2 sin ( sqrt 2 pi) $$ $$ B = frac sin left ( sqrt 2 ( pi -x_s) right) 2 sqrt 2 sin ( sqrt 2 pi) $$ $$ C = – frac cos left ( sqrt 2 (x_s + pi) right) 2 sqrt 2 sin ( sqrt 2 pi) $$ $$ D = – frac sin left ( sqrt 2 (x_s + pi) right) 2 sqrt 2 sin ( sqrt 2 pi) $$ Conectando la forma por partes propuesta para $ y $ y haciendo más simplificación trigonométrica, $$ y (x) = left { begin array cc – frac cos left ( sqrt 2 (x-x_s + pi) right) 2 sqrt 2 sin ( sqrt 2 pi), & Xx_s \ end array Derecha. $$ Observe que son iguales excepto que el rol de $ x $ y $ x_s $ se cambian entre las dos expresiones. Esto nos permite escribir una expresión más compacta $$ y (x) = – frac x-x_s 2 sqrt 2 sin ( sqrt 2 pi) $$ que es la función de Green para este problema.

Si tienes alguna duda o capacidad de prosperar nuestro escrito eres capaz de realizar una aclaración y con deseo lo ojearemos.

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