Nuestro team de especialistas despúes de ciertos días de investigación y de juntar de información, han obtenido la solución, esperamos que resulte útil para ti para tu plan.
Solución:
Cuando era estudiante de secundaria pensé que la descomposición par / impar sobre la que escribes me parecía algo peculiar y no tan fundamental. Después de aprender más matemáticas, me di cuenta de que el método que hay detrás (extraer “piezas simétricas” promediando y lo que podría llamarse anti-promediado) es en realidad un ejemplo muy simple de dos procesos importantes en matemáticas: descomposiciones del espacio propio y promediar un grupo para extraer simétricas piezas de una función (o vector, etc.). Lo que escribo a continuación no pretende brindarle nuevas situaciones en las que su descomposición par / impar ayude a resolver un problema de cálculo, sino mostrarle muchos ejemplos más de la misma idea para que vea que ocurre de manera bastante generalizada en matemáticas.
En casi todas las situaciones en las que hay una operación que itera dos veces para ser la operación de identidad obtienes un análogo de la descomposición par / impar. A continuación se muestran tres ejemplos.
-
La matriz de transposición (donde $ M ^ top top = M $) conduce a la expresión de una matriz cuadrada como una suma de matrices que son simétricas ($ M ^ top = M $) y simétrico sesgado ($ M ^ top = -M $)
$$ A = frac A + A ^ top 2 + frac A – A ^ top 2 $$ -
Conjugación compleja (donde $ overline overline z = z $) da un punto de vista de tipo “par / impar” al escribir un número complejo en forma estándar es $ a + bi $, ya que esta es la suma de un número real (ajustando $ overline w = w $) y un número puramente imaginario (apropiado $ overline w = -w $):
$$ z = frac z + overline z 2 + frac z – overline z 2 = a + bi $$
dónde $ z = a + bi $ y $ overline z = a – bi $. -
El operador de intercambio en funciones ($ f (x, y) mapsto f (y, x) $) o tensores ($ v otimes w mapsto w otimes v $) conduce a la expresión de una función o tensor como una suma de funciones o tensores simétricos y antisimétricos:
$$ f (x, y) = frac f (x, y) + f (y, x) 2 + frac f (x, y) – f (y, x) 2 $$
y
$$ v otimes w = frac v otimes w + w otimes v 2 + frac v otimes w – w otimes v 2. $$
Esto tiene un papel en la mecánica cuántica, donde subyace la distinción entre bosones (que tienen funciones de onda simétricas) y fermiones (que tienen funciones de onda antisimétricas).
Dije eso en por poco en cada situación obtienes algo así como una descomposición par / impar porque a veces una de esas partes es cero y, por lo tanto, no es interesante. Por ejemplo, una rotación de 180 grados $ R $ del avión tiene $ R (v) = -v $ para todos $ v $ en $ mathbf R ^ 2 $, por lo que aquí todo el espacio “parece extraño” bajo el efecto de $ R $. No hay vector en $ mathbf R ^ 2 $ se fija mediante una rotación de 180 grados a excepción del origen.
El uso de “orden $ 2 $“aquí mantiene el álgebra muy simple, pero también podemos considerar orden superior simetrías en lugar de simetrías de orden 2. Considere para cada $ n geq 1 $ tratando de descomponer una función $ f: mathbf C to mathbf C $ como suma de funciones $ f_k (z) $ que están “retorcidos” por $ k $th poderes bajo escala interior por un $ n $la raíz de la unidad: $ f_k ( zeta z) = zeta ^ k f_k (z) $ para todos $ n $las raíces de la unidad $ zeta $ (o equivalentemente solo $ zeta = e ^ 2 pi i / n $) y todos los números complejos $ z $, dónde $ 0 leq k leq n-1 $. El caso $ n = 2 $ son funciones pares / impares en $ mathbf C $ ($ f_0 (-z) = f_0 (z) $ medio $ f_0 $ es una función uniforme y $ f_1 (-z) = -f_1 (z) $ medio $ f_1 $ es una función extraña). Tomando $ n = 4 $, podemos intentar descomponer cada función $ f: mathbf C to mathbf C $ como suma de cuatro funciones
$$ f (z) = f_0 (z) + f_1 (z) + f_2 (z) + f_2 (z) $$
dónde $ f_0 (iz) = f_0 (z) $, $ f_1 (iz) = if_1 (z) $, $ f_2 (iz) = -f_2 (z) $, y $ f_3 (iz) = -if_3 (z) $ para todos $ z in mathbf C $Aquí hay fórmulas para cada una de las funciones:
$$ f_0 (z) = frac f (z) + f (iz) + f (-z) + f (-iz) 4, $$$$ f_1 (z) = frac f (z) – if (iz) – f (-z) + if (-iz) 4, $$$$ f_2 (z) = frac f (z) – f (iz) + f (-z) – f (-iz) 4, $$$$ f_3 (z) = frac f (z) + if (iz) – f (-z) – if (-iz) 4. $$
Estas fórmulas de promediado son generalizaciones de las fórmulas que escribió para determinar las partes pares / impares de una función $ mathbf R a mathbf R $. Y esto es útil en el análisis de Fourier, ya que la transformada de Fourier en funciones tiene orden $ 4 $.
Las ideas aquí presentadas se extienden incluso más allá de la descomposición de una representación de un grupo finito como una suma de representaciones irreductibles. Para el grupo cíclico de orden $ 2 $ hay dos representaciones irreductibles, y eso se refleja en la aparición de funciones pares e impares en su fórmula. Entonces, la descomposición par / impar de funciones en su pregunta es un caso especial de una idea realmente importante en matemáticas. No es sólo un “truco” para resolver problemas de cálculo artificial.
Una aplicación realmente interesante para esta descomposición (que vi en el canal de YouTube “Flammable Maths”) es evaluar integrales de la forma $$ int _ – a ^ a Bigg ( frac E (x) 1 + t ^ O (x) Bigg) dx $$ dónde $ t, a> 0 $ son constantes, $ E (x) $ es una función par (continua), y $ O (x) $ es una función impar (continua). Si pones $ f (x) = frac E (x) 1 + t ^ O (x) $ y escribe $$ f (x) = frac f (x) + f (-x) 2 + frac f (x) -f (-x) 2 $$ puedes decir eso $$ int _ – a ^ a Bigg ( frac E (x) 1 + t ^ O (x) Bigg) dx = int _ – a ^ a Bigg ( frac f (x) + f (-x) 2 Bigg) dx + int _ – a ^ a Bigg ( frac f (x) -f (-x) 2 Bigg ) dx $$ La última integral en el RHS desaparece ya que estamos integrando una función impar en un dominio simétrico. Con un poco de álgebra $ frac f (x) + f (-x) 2 = frac 1 2 E (x) $ dándonos el resultado asombroso $$ int _ – a ^ a frac E (x) 1 + t ^ O (x) dx = int_ 0 ^ aE (x) dx $$ que es realmente genial! Esto significa que podemos decir algo como $$ int _ – 1 ^ 1 Bigg ( frac x ^ 4-x ^ 2 + 1 1 + 3 ^ sin ^ 2 (x) tan (x) + x ^ 5 + x Bigg) dx = int_0 ^ 1 big (x ^ 4-x ^ 2 + 1 big) dx = frac 13 15 $$ ¡Esto también se puede usar para calcular algunas integrales dobles bastante desagradables! $$ int_0 ^ 1 int _ – x ^ 2 ^ x ^ 2 Bigg ( frac xy ^ 2 + x ^ 3 1 + 3 ^ x tan ^ 11 (y) + e ^ x sin ^ 7 (y) Bigg) dydx = int_0 ^ 1 int_0 ^ x ^ 2 (xy ^ 2 + y ^ 3) dydx = frac 5 24 $ PS Me encanta.
Editar: Esta técnica de integración en realidad se generaliza a integrales de la forma $$ int _ – a ^ a Bigg ( frac E_1 (x) 1+ big (E_2 (x) big) ^ O (x) Bigg) dx $$ dónde $ E_1 (x), E_2 (x) $ son funciones pares arbitrarias (continuas) mientras $ O (x) $ es una función impar arbitraria (continua). Usando exactamente el mismo procedimiento delineado anteriormente, podemos decir $$ int _ – a ^ a Bigg ( frac E_1 (x) 1+ big (E_2 (x) big) ^ O (x) Bigg) dx = int_ 0 ^ aE_1 (x) dx $$ lo que significa $$ int _ – 1 ^ 1 Bigg ( frac x ^ 4 + x ^ 2 + 1 1+ big (x ^ 2e ^ – x ^ 4 + cos (x) sin (x ^ 2) big) ^ x ^ 2 tan (x ^ 3) + x Bigg) dx = int_0 ^ 1 (x ^ 4 + x ^ 2 + 1) dx = frac 23 15 $$
La respuesta de KCd menciona de pasada de lo que hablaré, pero lo detallaré: la respuesta corta es análisis de Fourier.
Dividir una función en componentes pares e impares es una técnica de resolución de problemas extremadamente útil cuando se trabaja con el Transformada de Fourier, y el asociado series de Fourier. Una función que es puramente par o puramente impar es más fácil de encontrar la transformada / serie de Fourier.
Puede parecer un tema de nicho, pero el análisis de Fourier es una de las técnicas matemáticas más poderosas y ampliamente utilizadas. No puede ir muy lejos en ningún campo STEM sin encontrarlo, por lo que facilitar el análisis de Fourier es más importante de lo que cree.
Existe una gran cantidad de conocimiento en Internet sobre qué es el análisis de Fourier y cómo funciona, por lo que no lo reiteraré aquí. Encontré este video de YouTube como una buena introducción al tema.
Sección de Reseñas y Valoraciones
Recuerda algo, que te permitimos añadir un enjuiciamiento verdadero .