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Solución:
Enhorabuena, lo has solucionado. Ha utilizado el hecho de que mcd(a+b,b)=mcd(a,b)
Tu prueba es buena. Como referencia, tengo una prueba sin inducción que usa la identidad de Cassini, $$f_n-1f_n+1 – f_nf_n = (-1)^n,$$ que se prueba directamente en esa página de Wikipedia y en otra forma directa en Mostrar $F_n+1 cdot F_n-1 = F_n^2 + (-1)^n$ para todos los $n in mathbbN$.
Según si $n$ es par o impar, tenemos $$f_n-1f_n+1 – f_nf_n = 1 qquad texto qquad f_nf_n – f_n-1f_ n+1 = 1.$$
Ahora, el mcd de $f_n$ y $f_n+1$ se puede definir alternativa y equivalentemente como el entero menos positivo que se puede escribir en la forma $pf_n + qf_n+1$ donde $p$ y $q$ son números enteros. Como los coeficientes de $f_n$ y $f_n+1$ en ese par de ecuaciones son números de Fibonacci, por lo tanto, enteros, y como no hay ningún entero positivo menor que $1$, mcd$(f_n, f_n+1 ) = 1$. Por lo tanto, dos términos consecutivos cualesquiera de la sucesión de Fibonacci son primos relativos.
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