Solución:
Si $ g en G $ y $ h en H $, entonces $ ghg ^ {- 1} h ^ {- 1} = h ‘$, para algunos $ h’ en H $ (ya que $ H $ contiene el subgrupo de conmutadores). Pero entonces $ ghg ^ {- 1} = h’h in H $. Por lo tanto, $ gHg ^ {- 1} subset H $.
$ G ‘$ es ciertamente normal en $ G $, y $ G / G’ $ es abeliano. Cada subgrupo de un grupo abeliano es normal. Pero $ H / G ‘$ es un subgrupo de $ G / G’ $ por lo que $ H / G ‘$ es normal en $ G / G’ $. Por lo tanto, según el tercer teorema del isomorfismo para grupos, $ H $ es normal en $ G $.
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