Solución:
Hay varias formas de acortar el trabajo.
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Si puede llegar a un homomorfismo cuyo núcleo es precisamente $ N $, entonces esto garantiza que $ N $ es normal. Este suele ser el caso.
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Basta con comprobar un grupo electrógeno por $ N $. Es decir, si $ N = langle X rangle $, entonces $ N $ es normal en $ G $ si y solo si $ gxg ^ {- 1} in N $ por cada $ x en X $. Por ejemplo, esto hace que sea fácil probar que el subgrupo generado por todos los poderes de $ m $ es normal.
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Basta con comprobar un grupo electrógeno por $ G $ y sus inversos. Es decir, si $ G = langle Y rangle $, y $ yNy ^ {- 1} subseteq N $ y $ y ^ {- 1} Ny subseteq N $ para todos los $ y en Y $, entonces $ N $ es normal.
Si su subgrupo tiene el índice 2, entonces siempre es normal (ya sea que considere las clases laterales izquierdas o derechas, solo existen estas 2: el subgrupo en sí y el resto de los elementos).
Otra forma (quizás la mejor) es mostrar que el subgrupo es el núcleo de un homomorfismo que tiene al grupo como dominio.
Eso dependería del problema. Creo que las siguientes propiedades son las más útiles.
Un subgrupo $ N $ de $ G $ es normal si se cumple una de las siguientes condiciones:
- Por cada $ g en G $ y $ n en N $, $ gng ^ {- 1} en N $.
- Por cada $ g en G $, $ gNg ^ {- 1} subseteq N $.
- Por cada $ g en G $, $ gNg ^ {- 1} = N $.
- Cada clase lateral izquierda de $ N $ es una clase lateral derecha de $ N $.
- El producto de dos clases laterales derechas de $ N $ es nuevamente una clase lateral derecha de $ N $.