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Por reciprocidad de Frobenius, se induce una representación a partir de la representación trivial del subgrupo $ H $ si y solo su restricción a $ H $ incluye la representación trivial. Entonces, cada grupo abeliano no cíclico tiene esta propiedad, porque una representación irreducible es unidimensional, por lo que factores a través de un mapa a un grupo cíclico, por lo que tiene un núcleo.
Además, esto implica que si $ H subconjunto G $ y $ H $ tienen esta propiedad, entonces $ G $ también la tiene, por lo que una condición suficiente es que un grupo tenga un subgrupo abeliano que no sea cíclico.
Esto resuelve el caso de $ GL_n ( mathbb F_p) $, $ n> 1 $ y $ p> 2 $ (el subgrupo diagonal), y $ n> 2 $ y $ p = 2 $ (un subgrupo abeliano de $ 2 $ -Sylow subgrupo). n = 2, p = 2 es solo $ S_3 $, que manifiestamente tiene esta propiedad. (Mostrando que esta condición suficiente no es necesaria) Entonces $ GL_n $ para $ n> 1 $ tiene esta propiedad. $ GL_1 $ no lo hace, ya que siempre es cíclico. (Para los grupos cíclicos, cada representación inducida falla en ser fiel, así que tome un fiel irrep unidimensional).
$ A_n $ para $ n geq 4 $ contiene el subgrupo Klein four de $ A_4 $ y también esta propiedad. $ A_3 $ es cíclico y no lo es.
No conozco una condición necesaria fácil de verificar.
EDITADO EN RESPUESTA A LOS COMENTARIOS DE DAVID SPEYER Y F. LADISCH: Un ejemplo, efectivamente definitivo, es la clase de complementos Frobenius. Estos son los grupos finitos que admiten una representación (necesariamente fiel) en la que todo elemento no identitario actúa sin el valor propio $ 1 $. Dichos grupos tienen subgrupos cíclicos Sylow $ p $ para todos los primos impares $ p, $ y subgrupos cíclicos o generalizados de cuaterniones Sylow $ 2 $, propiedades que también ocurren en la respuesta de Will Sawin. Ésta es una clase de grupos muy restringida. Por ejemplo, el único complemento perfecto de Frobenius es $ rm SL (2,5). $ En cualquier caso, si $ G $ es un complemento de Frobenius y $ chi $ es un carácter irreducible complejo fiel tal que $ langle rm Res ^ G _ H ( chi), 1 rangle = 0 $ para cada subgrupo cíclico sin identidad $ H $ de $ G $ (y tal $ chi $ debe existir) , entonces $ chi $ no es un constituyente de ningún carácter de permutación inducido por el carácter trivial de un subgrupo sin identidad de $ G. $
Permítanme justificar que los complementos de Frobenius son solo aquellos grupos con una representación compleja irreductible donde cada elemento no identitario actúa sin valor propio $ 1 $. Recuerde que un grupo de Frobenius $ G $ tiene la forma $ G = KH, $ donde $ K lhd G $ y $ H cap K = 1, $ y, además, $ H cap H ^ g = 1 $ para todos los $ g en G barra invertida H. $
Observe entonces que $ | K | equiv 1 $ (mod $ | H | $), de modo que $ rm gcd (| K |, | H |) = 1. $ Además, ciertamente tenemos $ C_ G (h) leq H $ siempre que $ h $ sea un elemento no identitario de $ H $ ya que $ h en H cap H ^ c $ para todos $ c en C_ G (h). $
Sea $ V $ un subgrupo invariante mínimo de $ H $ sin identidad de $ K. $ Luego, usando el teorema de Thompson de que un núcleo de Frobenius es nilpotente, (que en realidad es exagerado aquí, ya que por las propiedades generales de los grupos de automorfismos coprimos que se pueden encontrar en el libro de Gorenstein “Grupos finitos”, por ejemplo, $ H $ normaliza un Sylow $ q $ -subgrupo de $ V $ para cada divisor principal $ q $ de $ | V | $), vemos que $ V $ es un Abelian $ p $ -group para algunos primeros $ p $. Entonces $ V $ es un módulo $ FH $ fiel, donde $ F = rm GF (p). $ Dado que $ p $ no divide $ | H | $, $ V $ se “eleva” a una representación compleja , y por las propiedades generales (de hecho, las definitorias) de los caracteres de Brauer, sigue siendo cierto que cada elemento no identitario de $ H $ actúa sin valor propio $ 1. $ La representación “levantada” no necesita ser irreductible como una representación compleja, sino todos sus componentes irreductibles tienen la propiedad de que cada elemento no identitario de $ H $ actúa sin valor propio $ 1 $ sobre ellos (y cada uno es fiel).
Por el contrario, si $ H $ es un grupo finito que tiene un carácter irreducible complejo $ chi $ que no contiene el carácter trivial en la restricción a ningún subgrupo cíclico sin identidad de $ H, $ entonces una representación compleja de $ chi $ puede reducirse (mod $ p $) para cualquier $ p $ principal que no divide $ | H | $ para pagar un módulo $ W $ $ kH $ en el que cada elemento no identitario de $ H $ actúa sin cero puntos fijos, donde $ k $ es algebraicamente cerrado de la característica $ p. $ Entonces $ W $ puede realizarse sobre un campo finito, y la suma de sus distintos conjugados de Galois puede realizarse sobre $ rm GF (p) , $ digamos por el módulo $ V $ sobre $ rm GF (p). $ Todavía es el caso de que cada elemento no identitario de $ H $ actúa sin puntos fijos no triviales en $ V, $ por lo que el semidirecto producto $ VH $ es un grupo de Frobenius con núcleo $ V $ y complemento $ H. $ Los complementos de Frobenius son precisamente los grupos que tienen un carácter irreducible $ chi $ que no ocurre como constituyente de $ rm Ind _ H ^ G (1) $ para cualquier subgrupo no trivial grupo $ H $ de $ G. $ Porque si $ chi $ es uno de esos caracteres, entonces $ rm Res ^ G _ H ( chi) $ no tiene constituyente trivial para cada subgrupo no trivial $ H $ de $ G $, en particular para cada subgrupo cíclico no trivial de $ G. $ Por lo tanto, cada elemento no identitario de $ G $ actúa sin el valor propio $ 1 $ en cualquier representación compleja que dé $ chi. $ A la inversa, si cada elemento no identitario de $ G $ actúa sin valor propio $ 1 $ en una representación de $ G $, entonces hay una representación irreducible $ sigma $ con esa propiedad, y si $ sigma $ proporciona el carácter $ chi, $ entonces $ chi $ no ocurre como un constituyente de $ rm Ind _ H ^ G (1) $ para cualquier subgrupo no trivial $ H $ de $ G. $ Hay ejemplos de Complementos abelianos de Frobenius de orden impar: por ejemplo, sea $ G = langle x, y: x ^ 9 = y ^ 7 = 1, x ^ – 1 yx = y ^ 2 rangle. $ Tenga en cuenta que $ G $ tiene un carácter irreducible $ chi $ de grado $ 3 $ tal que $ x ^ 3 $ actúa, como una matriz escalar sin identidad, de modo que ningún elemento $ 3 $ sin identidad de $ G $ tiene valor propio $ 1 $ en th La representación asociada, mientras que también cada potencia no identitaria de $ y $ tiene tres raíces primitivas de unidad de $ 7 $ -ésimas diferentes como sus valores propios en la representación asociada. Sin embargo, no es true que si un grupo finito de orden impar tiene todos sus subgrupos de Sylow cíclicos, entonces es un complemento de Frobenius: por ejemplo, un grupo no abeliano de orden $ 21 $ no es un complemento de Frobenius (¡aunque es un GRUPO de Frobenius!)
Con respecto a los grupos lineales generales finitos (u otros grupos finitos de tipo Lie), se sabe desde hace mucho tiempo que no se pueden obtener todos los caracteres irreductibles como constituyentes de uno inducido a partir del carácter trivial de un subgrupo parabólico adecuado. Esto es lo que hace que todo el tema sea tan desafiante, que se remonta al trabajo de Frobenius para los grupos $ mathrm SL _2 ( mathbb F _p) $ y se extiende a través del trabajo de JA Green sobre caracteres finitos lineales generales al trabajo mucho más complicado que proviene de la teoría de Deligne-Lusztig. Advertencia: en esta situación, no estoy considerando todos los posibles subgrupos adecuados, solo aquellos relevantes para la estructura de pares BN, por lo que, por supuesto, es posible encontrar excepciones. Pero en la teoría de Lie, incluidos los grupos lineales generales finitos, realmente se buscan métodos uniformes para producir tablas de caracteres.
Por otro lado, para los grupos de tipo Lie hay una rica teoría de lo que se puede hacer si se induce a partir del carácter trivial de un parabólico subgrupo y luego descomponer el carácter inducido usando métodos de álgebra de Hecke. El problema es que no obtiene todo lo que desea.
Por cierto, me gustaría saber si existe una condición razonable, necesaria y suficiente en un grupo finito para que la respuesta a su pregunta sea afirmativa. (Probablemente no). En cualquier caso, su encabezado sugiere que desea que las representaciones inducidas involucradas sean irreductibles, lo que induce a error a las personas al principio.
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