La guía o código que hallarás en este post es la solución más sencilla y efectiva que hallamos a tus dudas o dilema.
Solución:
La transformada de Fourier es una función.
Fast Fourier Transform es un algoritmo.
Es similar a la relación entre división y división larga. La división es una función, la división larga es una forma de calcular la función.
La transformada rápida de Fourier es una forma particularmente eficiente de calcular una DFT y su inversa mediante la factorización en matrices dispersas. La página wiki hace un buen trabajo cubriéndolo.
Para responder a su última pregunta, hablemos de tiempo y frecuencia. Tiene razón al decir que la transformada de Fourier separa ciertas funciones (la cuestión de qué funciones es realmente interesante) en sus componentes de frecuencia. Por ejemplo, la función $f(t) = cos(6πt) e^−2πt$ tomada de Wiki tiene una transformada de Fourier con máximos correspondientes a frecuencias a $3$ Hz (suponiendo que estamos en segundos).
Pero imagine que tiene una señal más compleja y que no solo le interesan los componentes de frecuencia, sino cuando esos componentes ocurrieron en el tiempo. Para localizar en el tiempo, necesitaría algo como una transformación de Fourier de tiempo corto o una transformación de “ventana”. Realizar esta transformación produce una función de dos variables en tiempo y frecuencia. Se ve así $$X(omega, tau) = int_mathbbR w(t – tau) f(t)e^-2pi it omega dt$$
La resolución en la que se puede conocer la frecuencia depende del ancho de la función de ventana $w$. Puede que le interese saber qué tan buena puede ser la resolución. Desafortunadamente, debido al Principio de Incertidumbre, si definimos la varianza sobre cero de la función y su STFT como $D_0(f(t))$ y $D_0(hatf(omega))$. Entonces $$ D_0(f)D_0(widehatf) geq frac116pi.$$ Por lo tanto, la resolución tiene algún tipo de granularidad mínima.
Sin embargo, existe todo un campo de estudio dedicado a mejorar la localización de tiempo y frecuencia. Si está interesado en transformadas además de FT y FFT, entonces puede que desee investigar el análisis wavelet. Las wavelets en general tienen una mejor resolución de frecuencia de tiempo que la FT ya que las “ventanas” que usan son de ancho variable. En el análisis de ondículas, $L^2$ se divide en una secuencia anidada de subespacios llamado análisis de resolución múltiple (MRA), cada uno con una base que consiste en una función de escala especial. A partir de esta construcción, podemos construir la llamada ondícula madre cuyas diversas dilataciones y traslaciones forman una base para todos de $L^2$. La capacidad de deslizar y estirar estas funciones y la diversidad de posibles wavelets madre produce muchas formas diferentes de examinar una señal en tiempo y escala, más allá de las que ofrece la transformada tradicional de Fourier.
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