Necesitamos tu ayuda para compartir nuestras secciones con relación a las ciencias informáticas.
Solución:
Si tiene una función real de tiempo $ x (t) $, que puede representar, por ejemplo, una portadora modulada, poder, si lo desea, evite las frecuencias negativas utilizando el Transformada sinusoidal de Fourier $$ X_s ( omega) = int _ – infty ^ infty x (t) sin omega t dt $$ y Transformada del coseno de Fourier $$ X_c ( omega) = int _ – infty ^ infty x (t) cos omega t dt $$ porque entonces, las transformadas inversas se pueden escribir (ignorando factores de 2s y $ pi $ s): $$ x (t) = int_ 0 ^ infty X_c ( omega) cos omega t + int_ 0 ^ infty X_s ( omega) sin omega t $$ es decir, no hay frecuencias negativas presentes.
Sin embargo, es mucho más ordenado trabajar con la compleja representación exponencial de señales moduladas. Una señal genérica modulada, en el dominio del tiempo, tendrá su amplitud y fase variando en función del tiempo $$ x (t) = A (t) cos ( omega_c t + phi (t)) $$ Podemos escribir esto como la parte real de una señal compleja $$ x (t) = Re A (t) cos ( omega_c t + phi (t)) + jA (t) sin ( omega_c t + phi (t )) $$ Ahora podría haber escrito cualquier basura vieja en la parte imaginaria, y la fórmula aún habría sido correcta, pero la elección que hice la hace extremadamente conveniente, principalmente porque puedo escribirla en forma exponencial $$ x (t) = Re A (t) exp (j ( omega_c t + phi (t))) $$ y esto hace que sea muy fácil para mí “factorizar” la frecuencia portadora $$ x (t) = Re X_B (t) exp (j ( omega_c t)) $$ donde $ X_B (t) $ es la señal “equivalente de banda base”. “Banda base” significa “efectivamente a una frecuencia portadora de 0Hz”. La señal equivalente de banda base es simplemente $$ X_B (t) = A (t) exp (j ( phi (t))) $$ y es complejo y contiene la información “interesante” contenida en la modulación (¡la portadora en sí no es tan interesante!).
Trabajando con estas formas exponenciales, ahora parece mucho más natural definir la transformada de Fourier en términos de exponenciales de la manera normal: $$ X ( omega) = int _ – infty ^ infty x (t ) exp (-j omega t) dt $$ junto con la transformada inversa $$ x (t) = int _ – infty ^ infty X ( omega) exp (j omega t) d omega $$ La transformada de Fourier de la señal equivalente en banda base $ X_B (t) $ no es simétrica con respecto a cero; no se puede especificar dando sus valores para frecuencias positivas e invocando la simetría. Entonces, si desea trabajar con este formalismo, las frecuencias negativas son fundamentales.
El espectro real de la señal centrada en $ + omega_c $ es el que obtendría si barriera un filtro de banda muy estrecha sobre el rango de frecuencia. No es necesariamente simétrico sobre $ + omega_c $ y esto se traduce a la banda base compleja (mostrada con puntos) que ahora es no simétrico con respecto a cero, entonces se necesitan frecuencias negativas.
Elija una raíz cuadrada de uno negativo.
Y ahora tírelo porque los estadísticos odian los números complejos y las frecuencias negativas, y nunca los usemos si podemos evitarlo. Para nosotros, el espectro de potencia realmente mide la varianza de los datos, usamos la palabra «potencia» porque estos conceptos fueron iniciados por físicos e ingenieros que estaban estudiando la luz o las señales. El espectro de potencia es una especie de análisis de varianza, que attributes diferentes partes de la varianza de los datos a las diferentes frecuencias. No existen los datos imaginarios, ummm, bueno, deberían estar sellados, por supuesto, es un fraude … y no existen los datos no conmutativos …
Si miramos el espectro de potencia (incluso de la luz, incluso en la óptica), la fase no hace ninguna diferencia, por lo que la distinción entre polarizados de una forma u otra es irrelevante. Y los analizadores de laboratorio reales miden la potencia, ignorando la fase. (Pero si uno está midiendo correlaciones cruzadas entre dos haces de luz diferentes, entonces las fases relativas sí marcan la diferencia, ya que afectan la coherencia de los dos haces entre sí). Por lo tanto, no hay necesidad de usar números complejos y Shuster no lo hizo. hazlo.
La única razón por la que se necesitarían frecuencias negativas es si usa números complejos en lugar de senos y cosenos. Ahora, muchos científicos prefieren usar números complejos porque simplifica las demostraciones, hace que las fórmulas de inversión de Fourier sean más elegantes y también más manejables, y codifica la información de fase en el ángulo del número complejo. Pero esto tiene la desventaja de que cuando desea traducirlo de nuevo a los términos físicos reales que los instrumentos de la mesa de laboratorio muestran en la impresión, siempre debe combinar las contribuciones debidas a la frecuencia positiva $ lambda $ con las debidas a el negativo $ – lambda $ simplemente porque $ cos ( lambda t) $, que (junto con su término sinusoidal de fase desplazada) se compone de dos exponenciales complejas, una con frecuencia positiva y otra con frecuencia negativa, a saber, $ e ^ i lambda + e ^ – i lambda $.
Su elección inicial de una raíz cuadrada de una negativa, que fue arbitraria, se refleja en la elección de una dirección de movimiento en el tiempo. (La misma fórmula para el propagador te propagará hacia atrás en el tiempo si eliges la otra raíz cuadrada, pero luego puedes llamar hacia atrás «adelante» y luego eso arregla todo … si eres un teórico …)
Si entiendes que ha resultado provechoso nuestro post, nos gustaría que lo compartas con más programadores de este modo nos ayudas a difundir nuestra información.