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Solución:
Un punto de acumulación de una secuencia. $(a_n)_n$ no es lo mismo que el punto de acumulación de su conjunto de valores $a_n : n in mathbbN$.
De hecho, considere la sucesión constante $a_n = a, forall n in mathbbN$. Claramente $(a_n)_n$ converge a $a$pero el conjunto $a_n : n in mathbbN = a$ no tiene puntos de acumulación según su definición.
La definición correcta es:
$x en mathbbR$ es un punto de acumulación de una sucesión $(a_n)_n$ si por cada $varepsilon > 0$ el intervalo $langle x-varepsilon, x+varepsilonrangle$ contiene infinitos términos de la sucesión $(a_n)_n$es decir, para cada $n en mathbbN$ existe $m in mathbbN, m > n$ tal que $|x-a_m| < varepsilon$.
Intenta mostrar tu lema ahora.
Supongamos que la secuencia converge a $x$. Claramente $x$ es un punto de acumulación.
Supongamos por el contrario que tenemos un segundo punto de acumulación, $y$. Dejar $r = frac2$.
Fíjate que existe $N>0$tal que para todos $n>N$después $|x_n-x|.
Eso es cuando $n>N$tenemos $$|x_n – y|=|x_n-x+xy| ge ||x_n-x|-|xy||=||x_n-x|-2r|=2r-|x_n-x|>r$$
Por lo tanto, no podemos tener infinitos puntos que se acerquen arbitrariamente a $y$por eso $y$ no puede ser un punto de acumulación.
Si sostienes alguna indecisión y capacidad de modernizar nuestro sección te mencionamos dejar una apostilla y con mucho gusto lo analizaremos.