El paso a paso o código que encontrarás en este post es la resolución más eficiente y válida que hallamos a tus dudas o dilema.
Solución:
Aquí hay una prueba visual, para complementar el álgebra de otras respuestas:
Cuando comiences el juego (desde 20), dibuja una forma de “escalera” como en la figura, pero con 19 cuadrados en la base (también 19 cuadrados de alto). Mientras juegas, para cada número en el tablero siempre tendrás una escalera correspondiente, con base y altura 1 menos que ese número. Cada turno, cuando divides un número como $n = b+c$, divide su escalera como se muestra en la imagen; eso te da un $b veces c$ rectángulo, más dos escaleras más pequeñas para los números resultantes $b$ y $c$. El área de los rectángulos es tu puntuación hasta el momento. Cuando todos los números restantes sean 1, habrás convertido toda la escalera original en rectángulos, por lo que tu puntuación final será el área total de la escalera original.
Esta área, el número de plazas en la escalera de base $n-1$está dada por la fórmula $fracn(n-1)2$, como se señaló en otras respuestas. Esta es una fórmula famosa, y si no la ha visto antes, puede explicarse por el hecho de que dos de esas escaleras encajan juntas en un $n veces (n-1)$ rectángulo.
Supongamos que su hipótesis es que a partir de $n$ terminas con una puntuación de $frac12 n(n-1)$. es claramente true empezando con $n=1$ como no hay movimientos y por lo tanto una puntuación de $0$.
Ahora supongamos que sabes que esto es true por $1 le n le k$ para algunos $k$entonces comienza con $k+1$ y dividirlo en $a$ y $k+1-a$ donde ambos están entre $1$ y $k$. Obtienes una puntuación inmediata de $a(k+1-a)$ más (por la hipótesis) puntajes posteriores de $frac12 a(a-1)$ y $frac12 (k+1-a)(k+1-a-1)$. Súmelos y simplifique para $frac12 (k+1)k$. Así es true por $n=k+1$.
Usando inducción fuerte, puedes concluir que la hipótesis es true para todos los enteros positivos $n$.
Supongamos que representamos un número $n$ en la pizarra por $n$ objetos distintos. cuando nos separamos $a$ dentro $b+c$nosotros ponemos $b$ de los objetos en un grupo, y $c$ de los objetos del otro grupo.
Entonces podemos representar el $bcdot c$ puntos que obtenemos para la división de la siguiente manera: por cada par de objetos que solía ser en el mismo grupo, pero ahora están en grupos diferentes, obtenemos un punto.
Al principio, todo $20$ los objetos están en el mismo grupo. Al final, todo $20$ los objetos están en diferentes grupos, por lo que debemos haber obtenido $binom202$ puntos para separarlos.