Luego de tanto trabajar ya encontramos la respuesta de este asunto que algunos los usuarios de este sitio presentan. Si deseas compartir algún detalle no dejes de aportar tu información.
Solución:
La difracción y el HUP están relacionados porque tienen la misma descripción matemática.
La transformada de Fourier a la relación de conmutación canónica y el principio de incertidumbre de Heisenberg. La FT es la transformación unitaria (que preserva la norma y el producto interno, es decir, que preserva la probabilidad) entre las coordenadas de posición y las coordenadas de momento, y se puede demostrar que, dado ninguna par de observables cuánticos $hatX$ y $hatP$ que cumplen la relación canónica de conmutación $X,PP,X=i,hbar,mathrmid$, la transformación entre coordenadas donde $hatX$ y $hatP$ son simples operadores de multiplicación es precisamente la transformada de Fourier. Muestro cómo debe ser esto true en esta respuesta aquí. Esto lleva a la desigualdad de Heisenberg a través de las propiedades matemáticas puras de la FT, como analizo en esta respuesta aquí y aquí. Una observación de caso especial que resume el comportamiento intuitivamente es que una función y su FT no pueden tener soporte compacto (dominio en el que son distintos de cero): si limita una función de onda (es decir, un estado cuántico) a un pequeño rango de posiciones, su transformada de Fourier es el mismo estado cuántico escrito en coordenadas de momento, por lo que la dispersión sobre los momentos aumenta a medida que limitas las posiciones cada vez más.
La analogía con la difracción es directa. El principio de Huygens, o cualquier método que quiera usar para explicar la difracción, se explica en detalle en mi respuesta aquí, esta aquí, esta aquí o aquí. Pero un resumen es este. Una onda plana que corre ortogonal a un plano significa que la fase en ese plano es uniforme. A medida que la onda se inclina, su variación de fase en el plano es de la forma $exp(i,veck,cdot,vecx)$, donde $veck$ es el vector de onda y $vecx$ la posición transversal en el plano. Entonces, para averiguar qué dispersión de direcciones tienes en una onda de luz, tomas su transformada de Fourier sobre el plano. La transformada de Fourier en el punto $k_x,,k_y$ es simplemente el peso de superposición del componente de onda plana con dirección definida por $k_x,,k_y$. Cuanto más dispersa en el espacio de Fourier está una onda, más importante es la dispersión de las direcciones de propagación y más rápidamente se difractará. Entonces, un agujero de alfiler del tamaño de la longitud de onda en una pantalla significa que la dispersión de las direcciones será amplia, simplemente por la abolladura del producto de incertidumbre de la transformada de Fourier. De hecho, para ángulos de difracción pequeños, $sqrtk_x^2+k_y^2/k approx theta$, donde $theta$ es el ángulo que forma el componente de onda plana con la normal al plano. De hecho, el producto básico de incertidumbre para los FT muestra que $Delta x,Delta k_x = Delta x,Delta theta,k geq frac12$ donde $Delta x$ es el ancho de rendija y $Delta theta $ la dispersión angular de la luz difractada.
Estrictamente hablando, la física de difracción no puede explicarse como el HUP (es decir, como resultado de las relaciones canónicas de conmutación) porque no hay una posición observable $hatX$ para el fotón, por lo que no puede pensar en $Delta,x, Delta p$. Allá son sin duda, pares de observables que conmutan canónicamente: por ejemplo, los mismos componentes del campo eléctrico y del campo magnético observables para el segundo campo electromagnético cuantificado son observables conjugados. La razón por la que funcionan las descripciones de HUP es la analogía matemática que he descrito anteriormente.
Veamos esta relación para las ondas, particularmente para las ondas electromagnéticas:
donde vemos que para la luz v=c
Una onda clásica emerge de un gran conjunto de fotones, el estado cuantificado del electromagnetismo.
Suponiendo que tenemos un solo fotón de frecuencia nu, si multiplicamos ambos lados por hbar y lo dividimos por c, obtenemos una fórmula consistente con la fórmula de incertidumbre de Heisenberg.
lamdahnu/c~h
delta(x)*delta(p)~h
donde el símbolo delta denota que tenemos un cuanto de la cantidad.
El principio de incertidumbre de Heisenberg introduce la relación mayor > en lugar de la igualdad, que es una suposición que no existe dentro de la descripción electromagnética clásica.
Por lo tanto, existe coherencia entre el marco clásico y el de la mecánica cuántica, pero es el clásico el que surge de la mecánica cuántica, y no al revés.
Entonces, uno podría agitar manualmente el HUP para describir la difracción de una rendija porque, en este caso, uno está esencialmente describiendo delta (x) y delta (p) que son consistentes en ambos marcos. Después de todo, las distancias de las rendijas se eligen para que sean del orden de magnitud de la longitud de onda.
Para comparar con la difracción clásica desde un borde, se necesitaría la solución del problema de la mecánica cuántica con el límite del borde para explicar cómo la distribución de probabilidad dada por las funciones de onda de los fotones concuerda con las soluciones de las ecuaciones de Maxwell.
Los fotones PS son partículas elementales y caen en el reino de HUP