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Solución:
El principal problema es, como dices, que el tiempo no es un operador en la mecánica cuántica. Por lo tanto, no hay valor esperado ni varianza, lo que implica que debe indicar qué significa $Delta t$, antes de poder escribir algo como $Delta E Delta tgeq hbar$ o similar.
Una vez que defina lo que quiere decir con $Delta t$, las relaciones que parecen similares a las relaciones de incertidumbre se pueden derivar con todo el rigor matemático que desee. Por supuesto, la definición de $Delta t$ debe provenir de la física.
La mayoría de las personas, por supuesto, ven $Delta t$ no como una incertidumbre sino como una especie de duración (ver, por ejemplo, los famosos anchos de línea naturales, para los cuales estoy seguro que existen derivaciones rigurosas). Por ejemplo, puede hacer las siguientes preguntas:
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Dada una señal de longitud temporal $t$ (toma $t$ de “sin señal” a “la señal ha llegado por completo”), ¿cuál es la variación de energía/cantidad? Esto se puede asignar al principio de incertidumbre habitual, porque la longitud temporal es solo una dispersión en el espacio de posición. También está relacionado con el llamado principio de incertidumbre de Hardy, que no es más que el principio de incertidumbre de Fourier disfrazado y completamente riguroso.
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Si realiza una medición de energía, ¿puede relacionar la duración de la medición y la incertidumbre energética de la medición? Esto es muy problemático (ver, por ejemplo, la revisión aquí: La relación de incertidumbre de tiempo-energía. Al elegir un modelo de medición, probablemente pueda derivar límites rigurosos, pero no creo que un límite riguroso sea realmente útil, porque probablemente ningún modelo de medición captura todo lo que es posible en los experimentos.
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Puede hacer la misma pregunta sobre el tiempo de preparación y la incertidumbre energética (consulte la revisión).
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Puede preguntar: dado un estado $|psirangle$, ¿cuánto tarda un estado en evolucionar a un estado ortogonal? Resulta que existe una relación de incertidumbre entre la energía (dada por el hamiltoniano de la evolución del tiempo) y la duración: esta es la relación de Mandelstamm-Tamm a la que se hace referencia en la otra pregunta. Esta relación se puede hacer rigurosa (este documento aquí podría dar una derivación tan rigurosa, pero no puedo acceder a ella).
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otras ideas (ver también la reseña)…
En otras palabras: primero debe decirme qué significa $Delta t$. Entonces tienes que decirme qué se supone que significa $Delta E$ (se podría argumentar que esto está claro en la mecánica cuántica). Solo entonces puede plantearse de forma significativa la cuestión de la derivación de una relación de incertidumbre energía-tiempo. El principio de incertidumbre generalizada hace precisamente eso, te dice que las cantidades $Delta$ son varianzas de los operadores, por lo que tienes una pregunta bien definida. Los libros que está leyendo parecen ofrecer solo heurísticas físicas de lo que $Delta t$ y $Delta E$ significan en circunstancias especiales; por lo tanto, una derivación matemáticamente rigurosa es imposible. Sin embargo, eso no es un problema en sí mismo, porque las heurísticas pueden ser muy poderosas.
Estoy completamente a favor de pedir pruebas rigurosas donde la pregunta subyacente se pueda plantear de manera rigurosa, pero dudo que ese sea el caso aquí para una relación de incertidumbre universalmente válida, porque dudo que una definición universalmente válida de $Delta t Se puede dar $.
Este es el caso. La relación de incertidumbre con la energía y el tiempo es una cuestión de análisis de Fourier. De hecho, la relación $DeltaomegaDelta t simeq 1$ se conocía en la ingeniería electromagnética clásica antes de la física cuántica. El uso del análisis de Fourier en ingeniería eléctrica tenía una relación de incertidumbre muy similar a la relación recíproca entre frecuencia y tiempo.
La mecánica clásica tiene relaciones de paréntesis de Poisson entre el momento y la posición, y la mecánica cuántica tiene un operador que reemplaza estos $$ q, p = 1~rightarrow~[q, p] = ihbar. $$ No hay paréntesis de Poisson en la mecánica hamiltoniana entre el tiempo y la energía. En la mecánica cuántica, como corolario, usando la palabra informalmente, no hay operador de tiempo. Esto lleva a algunas complejidades interesantes con la mecánica cuántica relativista y la teoría cuántica de campos.
La mecánica cuántica es una mecánica ondulatoria, y la base analítica de Fourier para la incertidumbre tiempo-energía es “suficientemente buena” para aceptarla. La base física para la incertidumbre energía=tiempo es lo suficientemente fuerte como para aceptarla. Solo tenemos una situación distinguible entre el espacio y el impulso frente al tiempo y la energía. En cierto sentido, esta es una marca que es contraria a la idea de Einstein.
Recuerda que tienes permiso de glosar tu experiencia si te fue de ayuda.