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Solución:
Gas ideal
En termodinámica, el hecho de que la energía de un gas ideal dependa únicamente de la temperatura es una observación experimental de la expansión libre de un gas diluido (que es aproximadamente ideal) 1. En mecánica estadística, se puede demostrar 2.
En última instancia, la razón es que los átomos de un gas ideal son partículas puntuales que no interactúan. Solo tienen energía cinética, pero no se “ven” en absoluto. La energía cinética promedio no es más que la temperatura del gas ideal.
Por lo tanto, no importa cuánto disminuya el volumen de la caja: dado que no interactúan, la energía seguirá siendo la misma si la temperatura (= energía cinética promedio) no cambia.
Para modelos más realistas, tiene un potencial de interacción $U$ que generalmente se supone que es la suma de los componentes por pares que dependen de la distancia entre la partícula $i$ y la partícula $j$,
$$U(vec r_i, dots, vec r_N) = sum_{i=1,j
Cuando se reduce el volumen, se reduce la distancia media entre partículas y, por lo tanto, debido a la presencia de $U$, la energía cambiará aunque $T$ se mantenga constante.
gasolina de verdad
En general la energía $E$ de un gas real será función de todos los parámetros termodinámicos relevantes, que son $P,V$ y $T$:
$$E_rg = E(P,V,T)tag1label1$$
Sin embargo, siempre hay una ecuación de estado que conecta $P,V$ y $T$:
$$f(P,V,T)=0tag2label2$$
Un ejemplo es la ecuación de estado de van der Waals:
$$left( P + fracan^2V^2right) (V-nb) = nRT$$
Puedes resolver ref2 para $V$, obteniendo
$$V = g(P,T) tag3label3$$
Sustituyendo ref3 en ref1, obtienes
$$E(P,V,T)=E(P,g(P,T),T)= tilde E(P,T)$$
Entonces $E$ solo depende de dos variables termodinámicas.
1 El experimento fue realizado por primera vez por Joule y funciona así: deja que un gas diluido, inicialmente confinado en un lado de un contenedor, se expanda libremente en todo el contenedor. Suponiendo que el recipiente es adiabático (sin intercambio de calor), el trabajo realizado $W$ y el calor intercambiado $Q$ son cero. Por lo tanto, de la primera ley, $Delta E=0$: la energía no cambia. El volumen ha cambiado, y también la presión. Experimentalmentese observa que la temperatura no ha cambiado. Por lo tanto, concluye que $E$ debe ser una función de $T$ únicamente. Puedes encontrar este argumento en E. Fermi, TermodinámicaCapitulo 2.
2 Véase, por ejemplo, K. Huang, Mecánica estadísticaCapítulo 6.5
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