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Solución:
Tomemos las preguntas en orden inverso.
Sí, los conceptos de par e impar se aplican a los números enteros negativos: ninguna el entero $n$ es par si y solo si hay un entero $k$ tal que $n=2k$. El entero $k$ puede ser positivo, negativo o cero. Por lo tanto, $-6=2(-3)$ es par, al igual que $0=2cdot0$. Un entero es impar si y solo si no es par, entonces $-7$ es impar: no hay ningún entero $k$ tal que $-7=2k$.
La respuesta a la primera pregunta también es sí. Primero, es muy fácil poner el conjunto de números naturales, $Bbb N= ,1,2,3,dots$, en correspondencia biunívoca con el conjunto $E= ,2,4,6,dots$ de números naturales pares: la aplicación $Bbb Nto E:nmapsto 2n$ es claramente una biyección. Si desea afinar una biyección entre $Bbb N$ y el conjunto de todos incluso enteros, tienes que trabajar un poco más. Aquí hay una foto de parte de uno:
$$begin{arrayr 0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&puntos\ 0&2&-2&4&-4&6&-6&8&-8&10&puntos endarray$$
Esto se puede expresar como
$$nmapstobegincases -n,&textsi ntext es par\ n+1,&textsi ntext es impar;, end casos$$
y puedes comprobar que esto realmente es una biyección de $Bbb N$ al conjunto de todos los enteros pares.
Puedes tener una biyección del conjunto de números naturales ($mathbbN$) al conjunto de números pares ($mathbbE$) enviando cada número natural $n$ a $2n$.
Entonces esto implica que “hay tantos números naturales como no hay”.
Intuitivamente puedes pensar en esto de esta manera: Cualquier positivo incluso no. es de la forma $2n,nin N$ Así que si divides este número par por $2$ obtienes un número natural $único$. Y si multiplicas cada no natural. por 2 obtienes un número par $único$, por lo que sus “cardinalidades” deben ser las mismas.
Supongamos que tenemos dos conjuntos finitos, $A$ y $B$. Si queremos comprobar si estos conjuntos son del mismo tamaño, podemos hacer dos cosas. La primera opción es simplemente contar el número de elementos en ambos conjuntos y comparar estos números. La segunda opción es ver si podemos encontrar una relación entre $A$ y $B$ tal que, bajo esta relación, cada elemento en $A$ corresponda exactamente a un elemento en $B$, y cada elemento en $B$ corresponde exactamente a un elemento en $A$. Este tipo de relación se llama biyección (o: correspondencia uno a uno).
Usando el concepto de una relación biyectiva, podemos mostrar que el conjunto de todos los números enteros positivos y el conjunto de todos los números pares son del mismo ‘tamaño’. Como señalaron otros, incluso puedes demostrar que existe una biyección entre el conjunto de números racionales y el conjunto de números enteros positivos. Por lo tanto, estos conjuntos también son del mismo ‘tamaño’. Si quieres ver cómo funciona esto, mira aquí.
En mi opinión, lo más desconcertante no es que estos conjuntos sean del mismo tamaño, sino que existen infinitos conjuntos que son no biyectiva a otros conjuntos infinitos. Por ejemplo, el conjunto de todos los números reales $mathbbR$ no es biyectivo de $mathbbQ$, el conjunto de todos los números racionales. Entonces existen diferentes ‘niveles de infinito’.
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