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Solución:
Sí, hay muchos. Por ejemplo, considere la métrica $d(m, n)=vert 1over 2^m-1over 2^nvert+1$ para $mnot=n$, y $d (m,m)=0$. Dado cualquier $n$, el conjunto $n+k: kinmathbbN$ es la bola cerrada de radio $1+1sobre 2^n+1$ centrada en $ n+1$. Mientras tanto, es trivialmente completo: dado que cada par de puntos distintos están a una distancia de al menos 1, no hay secuencias de Cauchy que no sean eventualmente constantes.
Tenga en cuenta que si $M=(X, d)$ es un espacio métrico, entonces $M^+=(X, d^+)$ también es un espacio métrico, donde $d^+(a, b)=d( a, b)+1$ para $anot=b$ y $d(a, a)=0$. El único axioma no trivial para comprobar es la Desigualdad del Triángulo: si $a, b, c$ son distintos, entonces $$d^+(a, b)+d^+(b, c)=[d(a, b)+d(b, c)+1]+1ge [d(a, c)+1]+1>d^+(a, c).$$ (Si $a=b$ o $b=c$, las cosas son aún más fáciles). Esta construcción puede ser una fuente útil de contraejemplos.
Tenga en cuenta que este es solo un caso especial de la suma de dos métricas: si $d_0, d_1$ son métricas en $X$, entonces también lo es $d(x, y)=d_0(x, y)+d_1(x, y)$. Aquí estamos tomando la suma de una métrica que satisface las hipótesis de su pregunta excepto por la integridad, y una métrica discreta (que trivializa el requisito de integridad mientras preserva la otra propiedad relevante).
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