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Solución:
Partiendo del contraejemplo de gammatester, parece que una conjetura correcta podría ser subir las probabilidades y bajar las pares, por ejemplo,
$$1,3,5,7,9,10,8,6,4,2$$
Tenga en cuenta que no importa cómo organice los números, el promedio La diferencia entre números consecutivos (circulares) siempre es $0$, por lo que, en cierto sentido, lo que está tratando de hacer es encontrar un arreglo que minimice el diferencia. Es decir, si arregla un arreglo circular y deja que $X$ sea la variable aleatoria para la diferencia entre un par de números consecutivos elegidos al azar, entonces $V(X)=E(X^2)-E(X)^2= E(X^2)-0$.
Su hipótesis es incorrecta, mire, por ejemplo, $n=4$. Tu fórmula dará la suma $3times 4 = 12$. Pero si tomas $x_1dots x_4 = 1,3,4,2;$ la suma es $2^2 + 1^2 + 2^2 + 1^2 = 10$