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Solución:
suma directa es un término para subespaciostiempo suma se define para vectores. Podemos tomar la suma de subespacios, pero entonces su intersección no necesita ser $ $.
Ejemplo: Sea $u=(0,1),v=(1,0),w=(1,0)$. Después
- $u+v=(1,1)$ (suma de vectores),
- $operatornamespan(v)+operatornamespan(w)=operatornamespan(v)$, por lo que la suma no es directa,
- $operatornamespan(u)oplusoperatornamespan(v)=Bbb R^2$, aquí la suma es directa porque $operatornamespan(u)capoperatornamespan( v)= $,
- $uoplus v $ no tiene sentido en este contexto.
Tenga en cuenta que la suma directa de subespacios de un espacio vectorial no es lo mismo que la suma directa de algunos espacios vectoriales.
En Linear Algebra Done Right de Axler, define el suma de subespacios $U + V$ como
$u + v : u in U, v in V $.
Luego dice que $W = U oplus V$ si
(1) $W = U + V$, y
(2) La representación de cada $w$ como $u + v$ es único.
Esta es una forma diferente de presentar estas definiciones que la mayoría de los textos, pero es equivalente a otras definiciones de suma directa.
En el libro de cualquiera, siempre se definen la suma y la suma directa de subespacios; y la suma de vectores siempre está definida; pero no existe tal cosa como una suma directa de vectores.
Debes tener en cuenta estas dos definiciones:
Definición 1: suma de subconjuntos
Supongamos que $U_1,…,U_m$ son subconjuntos de $V$. los suma de $U_1,…,U_m$ denotado por $U_1+…+U_m$ es el conjunto de todas las sumas posibles de los elementos $U_1,…,U_m$. Más precisamente,
$$U_1 + … + U_m = u_1+…+u_m: u_1en U_1,…,u_men U_m$$
Definición 2: suma directa
Supongamos que $U_1,…,U_m$ son subespacios de $V$.
La suma $U_1+…+U_m$ se llama suma directa si y solo si cada elemento de $U_1+…+U_m$ se puede escribir en uno y solo uno manera como una suma de $u_1+…+u_m$ donde cada $u_j$ está en $U_j$. La notación para tal suma de subconjuntos es $U_1oplus … oplus U_m$.
Hay un atajo para identificar sumas directas:
Supongamos que $U_1,…,U_m$ son subespacios de $V$. Entonces $U_1+…+U_m$ es una suma directa si y solo si la única manera de escribir $0$ como una suma $u_1+…+u_m$ es tomando cada $u_j$ igual a $0$.
También,
Supongamos que $U$ y $W$ son subespacios de $V$. Entonces $U+W$ es una suma directa si y solo si $Ucap W = $.