Solución:
Insinuación. Hay una inyección $ i: Bbb N a X $.
Para $ x en X $ considere los conjuntos infinitos $ i (2 Bbb N) cup {x } $ y $ i (2 Bbb N + 1) cup {x } $.
Estoy asumiendo que $ X $ es infinito, de lo contrario, la afirmación no se sostiene.
Si es suficiente para demostrar que los singletons $ {x } $ están abiertos, para todos $ x en X $.
$ X setminus {x } $ también es un conjunto infinito, por lo que existen conjuntos infinitos $ A, B subseteq X setminus {x } $ tal que $ A cap B = conjunto vacío $.
Por ejemplo, deja $ {a_n: n in mathbb {N} } $ ser un subconjunto contable de $ X setminus {x } $ y luego definir $ A = {a_ {2n}: n in mathbb {N} } $ y $ B = {a_ {2n – 1}: n in mathbb {N} } $.
Ahora $ A taza {x } $ y $ B taza {x } $ son subconjuntos infinitos de $ X $ por lo que están abiertos.
Por eso $$ {x } = (A cup {x }) cap (B cup {x }) $$ también está abierto como una intersección de dos conjuntos abiertos.
Ahora un arbitrario $ S subseteq X $ es solo
$$ S = bigcup_ {x in S} {x } $$
que es una unión de conjuntos abiertos.
Este es un buen comienzo. Definitivamente aproveche el hecho de que la intersección de dos conjuntos abiertos cualesquiera en un espacio topológico es en sí misma un conjunto abierto. En particular, piensa en $ ^ dagger $ cómo puedes obtener un conjunto único arbitrario $ {x } $ mediante una intersección de dos conjuntos que se sabe que están abiertos en este espacio.
Demostrar que un conjunto de singleton arbitrario es abierto implica que todos lo son. Debido a que el conjunto de todos los conjuntos singleton es un base para la topología discreta, esto muestra que $ tau $ es de hecho $ ^ {**} $ discretos. En otras palabras, observe que ahora puede escribir cualquier subconjunto $ Y subconjunto X $ como una unión de conjuntos que se muestran abiertos:
$$ Y = bigcup_ {y in Y} {y } $$
$ ^ dagger $ Independientemente de la cardinalidad de $ X $, siempre podemos encontrar una inyección $ phi: mathbb {N} hookrightarrow X $. Si deseamos mostrar que $ {x } $ es un conjunto abierto, puede ser conveniente construir un $ phi $ de tal manera que tenga $ x in phi ( mathbb {N}) $ . De esta manera, primero puede resolver el problema en números naturales, tratando de obtener el singleton $ big { phi ^ {- 1} (x) big } $ como una intersección de dos subconjuntos infinitos de $ mathbb {N} $; la ventaja es que $ mathbb {N} $ tiene elementos etiquetados y un orden para facilitar el pensamiento. Cuando termine, la idea se puede transferir a $ X $ a través de $ phi $ (es suficiente que se garantice la existencia de tal $ phi $).
$ ^ {**} $ Este es un tema común en topología. A menudo, puede demostrar que algo es cierto sobre un espacio topológico siempre que pueda demostrar que es cierto sobre una base para la topología en cuestión. Por ejemplo, el hecho utilizado anteriormente fue: si $ mathcal {B} $ es una base para una topología $ tau ‘$, entonces $ mathcal {B} subset tau implica tau’ subset tau $ . Otro que viene rápidamente a la mente es que una función $ f: X rightarrow Y $ entre espacios topológicos es una abrir mapa siempre que la función sea un mapa abierto con respecto a los elementos en una base para $ X $, debido al hecho de que $ displaystyle f left ( bigcup_k U_k right) = bigcup_k f (U_k) $. En la misma línea, es suficiente, al probar que una función es continua, mostrar solo que las preimágenes de los elementos base de $ Y $ están abiertas en $ X $.