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Solución:
Para resolver la segunda pregunta, observe primero que los polinomios de Legendre son funciones impares para orden impar (0 entonces es una raíz del polinomio), y funciones pares para orden par. Por lo tanto, con respecto a la solubilidad en términos de radicales, debería poder derivar (¡posiblemente complicado!) expresiones radicales al menos hasta $P_9(x)$. Para usar eso como un ejemplo, tenga en cuenta que
$$fracP_9(sqrtx)sqrtx$$
es un cuartico; por lo tanto, uno puede usar la fórmula cuartica para derivar expresiones explícitas para sus raíces, y luego puede derivar fácilmente las raíces de $P_9(x)$.
$P_10(x)$ es donde empiezan los problemas. Si echamos un vistazo al polinomio
$$P_10(sqrtx)$$
tenemos una quíntica con la que lidiar. Omitiré los detalles relativamente tediosos, pero puede verificar que su grupo de Galois no es un grupo soluble y, por lo tanto, la solución no se puede expresar en términos de radicales (aunque puede usar theta o funciones hipergeométricas).
Entonces, no hay mucha esperanza en el frente simbólico. En el numérico frente, las cosas son mucho más fáciles. La forma más hábil de obtener valores precisos de las raíces del polinomio de Legendre es usar la matriz de Jacobi en mi respuesta anterior. Dado que existen algoritmos estables y eficientes (por ejemplo, algoritmo QR o divide y vencerás) para el problema propio simétrico (en LAPACK, por ejemplo), y las cosas se pueden configurar de manera que solo se devuelvan valores propios, tienes una buena manera de generar buenos valores aproximados de raíces polinómicas de Legendre. (En el contexto de la cuadratura gaussiana, donde las raíces de los polinomios ortogonales juegan un papel fundamental, el esquema se conoce como el algoritmo Golub-Welsch).
Alternativamente, como mencioné en los comentarios, existen aproximaciones asintóticas para las raíces, que luego pueden pulirse con algunas aplicaciones de Newton-Raphson. Una de esas aproximaciones asintóticas se debe a Francesco Tricomi. Sea $xi_n,k$ la raíz $k$-ésima de $P_n(x)$, ordenada en orden decreciente, tenemos
$$xi_n,kapproxleft(1-frac18n^2+frac18n^3right)cosleft(pifrac4k-14n +2derecho)$$
y $O(n^-4)$ y otros términos se omiten. Otras aproximaciones asintóticas de Luigi Gatteschi usan raíces de funciones de Bessel, pero no diré más sobre ellas.
Responderé la pregunta 1 solo por ahora, pero podría editarla para abordar las demás más adelante.
Cabe señalar que correspondiente a cualquier conjunto de polinomios ortogonales, existe una matriz tridiagonal simétrica, llamada matriz de jacobi, cuyo polinomio característico es la versión mónica (el coeficiente principal es 1) del conjunto de polinomios ortogonales considerado. Para usar los polinomios de Legendre como un ejemplo explícito, primero observamos que los polinomios mónicos de Legendre satisfacen la siguiente relación de recurrencia de dos términos:
$$hatP_n+1(x)=x hatP_n(x)-fracn^24 n^2-1hatP_ n-1(x)$$
donde $hatP_n(x)=frac(n!)^2 2^n(2n)!P_n(x)$ es el polinomio mónico de Legendre.
A partir de esto, podemos derivar una expresión explícita para la matriz de Jacobi correspondiente (aquí doy el caso de 5 por 5):
$$beginpmatrix0&frac1sqrt3&0&0&0\frac1sqrt3&0&frac2sqrt15&0&0 &frac2sqrt15&0&frac3sqrt35&0\0&0&frac3sqrt35&0&frac4 sqrt63\0&0&0&frac4sqrt63&0endmatrix$$
(el patrón general es que tienes $fracnsqrt4 n^2-1$ en las posiciones $(n,n+1)$ y $(n+1,n)$, y 0 en cualquier otro lugar).
Ahora notamos que $fracnsqrt4 n^2-1$ nunca puede ser 0, y luego usamos el hecho de que si una matriz tridiagonal simétrica no tiene ceros en su sub o superdiagonal, entonces todos sus valores propios tienen multiplicidad 1. (Una prueba de este hecho se puede encontrar en Beresford Parlett’s El problema de los valores propios simétricos.) Por lo tanto, todas las raíces del polinomio de Legendre son raíces simples.
Una prueba más convencional de este hecho se encuentra en la página 27 del libro de Theodore Chihara. Una introducción a los polinomios ortogonales. Brevemente, el argumento es que $P_n(x)$ cambia de signo al menos una vez dentro de $[-1,1]$ (y por lo tanto tiene al menos un cero de multiplicidad impar dentro del intervalo de soporte) ya que
$$int_-1^1 P_n(u)mathrm du=0$$
Ahora el polinomio
$$P_n(x)prod_j=1^k(x-xi_j)$$
donde $xi_j$ son los distintos ceros de multiplicidad impar dentro de $[-1,1]$, debe ser mayor o igual a cero dentro de $[-1,1]$, y por lo tanto su integral sobre $[-1,1]$ debe ser mayor que cero. Sin embargo, desde
$$int_-1^1 P_n(u) u^kmathrm du=0qquadtextifqquad k < n$$
tenemos una contradicción, y por lo tanto todas las raíces del polinomio de Legendre son simples (y dentro del intervalo de soporte $[-1,1]ps
La densidad de las raíces de cualquier familia de polinomios ortogonales se sigue de este resultado:
Si $p_n$ es una familia de polinomios ortogonales con raíces en ps[-1,1]ps y $N(a,b,n)$ representa el número de raíces de $p_n$ en ps[cos(b),cos(a)]ps después
$$lim_na infty fracN(a,b,n)n = fracbapi$$
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