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Si $n$ es entero
begineqnarray* fracd^ndx^n (x^2-1)^n &=& fracd^ndx^n left [
sum_k=0^n (-1)^k fracn!k!(n-k)! x^2n-2k right ] \ &=& sum_k=0^n (-1)^k fracn!k! (nk)! frac(2n-2k)!(n-2k)! x^n-2k. endeqnarray*
La suma anterior no llega a $k=n$, desde después $k=[n/2]PS, las derivadas son 0 entonces escribimos
begineqnarray* fracd^ndx^n (x^2-1)^n &=& sum_k=0^[n/2] (-1)^k fracn!k! (nk)! frac(2n-2k)!(n-2k)! x^n-2k. endeqnarray*
De la serie infinita truncada al polinomio de Legendre se sigue que
begineqnarray* P_n(x) = frac12^nn! fracd^ndx^n (x^2-1)^n. endeqnarray*
El enfoque seguido aquí es en orden inverso. Empezamos con la fórmula de Rodríguez y mostramos que corresponde a un polinomio de Legendre. Un enfoque más intuitivo es comenzar con los polinomios
begineqnarray* y(x)= (1-x^2)^n. endeqnarray*
y tomar derivadas, y verificar que las derivadas tomadas $n$ veces te llevará a la ecuación diferencial de Legendre. Es decir, tenemos eso.
begineqnarray* y’ = -2 nx (1-x^2)^n-1 endeqnarray*
que podemos escribir como
begineqnarray (1-x^2) y’ + 2n xy = 0. labeltole endeqnarray
y comienza a parecerse un poco a una ecuación diferencial de Legendre.
Queremos derivar esta ecuación $k$ tiempos y usa la regla de Leibniz. Es decir, si llamamos $u=1-x^2$,
begineqnarray* fracd^kdx^k [u y’] = sum_j=0^k binomkj u^(j) y^(k-j+1) endeqnarray*
Dado que $u$ es un polinomio de segundo orden, solo sobrevivirán tres términos de esta suma. Es decir
begineqnarray* fracd^kdx^k [u y’] &=& uy^(k+1) + ku’ y^(k) + k(k-1) u^(2) y^(k-1) \ &=& (1-x^2)y^(k+1) – 2 kxy^(k) -2 frack(k-1)2 y^(k-1) = 0 endeqnarray*
Así mismo usamos la regla de Leibniz para el producto $2nxy$ donde solo sobrevivirán dos términos. Es decir
begineqnarray* fracd^kdx^k [2 n x y] &=& 2 nxy^(k) + 2 nky^(k-1), endeqnarray*
combinamos los dos resultados anteriores para encontrar
begineqnarray* (1-x^2)y^(k+1) – 2 kxy^(k) – k(k-1) y^(k-1) + 2 nxy ^(k) + 2 nky^(k-1) = 0 endeqnarray*
En este punto observamos que si $k=n+1$, encontramos
begineqnarray* (1-x^2)y^(n+2) – 2(n+1) xy^(n+1) – n(n+1) y^(n ) + 2 nxy^(n+1) + 2 n (n+1) y^(n) = 0 endeqnarray*
que simplifica a
begineqnarray* (1-x^2) y^(n+2) – 2 xy^(n+1) + n(n+1) y^(n)=0. endeqnarray*
y esta es la ecuación diferencial de Legendre con $y^n=P_n$. Entonces demostramos que
begineqnarray* fracd^ndx^n(1-x^2)^n endeqnarray*
satisface la ecuación diferencial de Lagrange. El factor $1/(2^nn!)$ se incluye para hacer $P(1)=1$.
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Comprueba que el lado izquierdo define un polinomio de $n$ésimo orden.
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Comprueba que $displaystyle int_-1^1P_n(x)P_m(x)dx$ se anula para $mneq n$ (integración por partes).
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Comprueba la condición de normalización $P_n(1)=1$ (regla de Leibniz).
Adicional: Como escribe casi correctamente en el comentario a continuación, el resultado de la integración por partes (suponiendo que $m[fracd^m+k-1 (x^2-1)^mdx^m+k-1fracd^n-k(x^2-1)^ndx^n-kright]_ -1^1,$$ donde $c_mnk$ es una constante irrelevante. Considere el segundo factor entre corchetes. Ahí tienes un polinomio que tiene $n$ésimo orden de ceros en $x=pm 1$ que diferenciamos $nk$ veces. Por lo tanto, el resultado tendrá ceros de $k$ésimo orden en estos puntos, lo que implica la desaparición de la integral.