Nuestros mejores desarrolladores han agotado sus depósitos de café, en su búsqueda día y noche por la respuesta, hasta que Emiliano encontró el arreglo en Gogs así que ahora la compartimos con nosotros.
Solución:
Aquí hay otra forma de ver esto. Los polinomios de Bernoulli se pueden definir mediante la propiedad
$$int_x^x+1 B_n(u) , du = x^n.$$
Así que si dejamos $T$ Sea el operador del conjunto de polinomios a sí mismo dado por $(Tf)(x) = int_x^x+1 f(u) , du$entonces nosotros tenemos $(TB_n)(x) = x^n$. El operador $T$ envía $x^n$ para $$int_x^x+1 u^n , du = frac1n+1left((x+1)^n+1 – x^n+1 derecha) = sum_k=0^n frac1n+1 n+1 elegir kx^k.$$
Escritura $T$ como una matriz infinita con respecto a la base $1,x,x^2, ldots$da
$$T = nuevocomandoNegrita[1]mathbf#1left(begin{arrayrrrr 1 & frac12 & frac13 & frac14 & ldots\ 0 & 1 & 1 & 1 & ldots\ 0 & 0 & 1 & frac32 & ldots\ 0 & 0 & 0 & 1& ldots\ vdots & vdots & vdots & vdots & ddots endarrayderecho). $$
Podemos aproximar la inversa tomando la inversa de este truncamiento, dando la forma matricial de $T^-1$:
$$T^-1 = nuevocomandoNegrita[1]mathbf#1left(begin{arrayrrrr 1 & -frac12 & frac16 & 0 & ldots\ 0 & 1 & -1 & frac12 & ldots 0 & 0 & 1 & -frac32 & ldots\ 0 & 0 & 0 & 1& ldots\ vdots & vdots & vdots & vdots & ddots endarrayderecho)$$
Este operador envía $x^n$ para $B_n(x)$por lo que las columnas son los coeficientes de los polinomios de Bernoulli.
Para ver cómo encaja esto con sus ecuaciones, tenga en cuenta que podemos factorizar la primera matriz $T$ para quitar la fracción $frac1n+1$ en la fórmula de sus coeficientes, ya que al multiplicar por una matriz diagonal a la izquierda se escalan las columnas de una matriz por las entradas diagonales. Esto da $$ T = nuevocomandoNegrita[1]mathbf#1left(begin{arrayrrrr 1 & 1 & 1 & 1 & ldots\ 0 & 2 & 3 & 4 & ldots\ 0 & 0 & 3 & 6 & ldots\ 0 & 0 & 0 & 4 & ldots \ vdots & vdots & vdots & vdots & ddots endarrayderecha)nuevo comandoNegrita[1]mathbf#1left(beginarrayrrrr 1 & 0 & 0 & 0 & ldots\ 0 & 1/2 & 0 & 0 & ldots\ 0 & 0 & 1/3 & 0 & ldots\ 0 & 0 & 0 & 1/4 & ldots\ vdots & vdots & vdots & vdots & ddots endarrayderecho)$$
La matriz de la izquierda es su $M_P$ (infinitamente extendido). Llamando a la matriz diagonal de la derecha $D$tenemos $T = M_pD$o $DT^-1 = M_P^-1$ cual es tu ultima ecuacion
En mi opinión, esta es la forma más natural de calcular los polinomios de Bernoulli. Hace unos años estaba jugando con esta idea antes de saber qué era un polinomio de Bernoulli. Me decepcionó un poco, aunque no me sorprendió demasiado, escuchar que alguien más había descubierto esto primero. Fui golpeado por unos trescientos años, nada menos. Terminó como parte de mi tesis de licenciatura. 🙂
Este es un problema fascinante, pero en el caso de $P_(4)$, tenemos $$tag1 M_P_(4)^-1=beginpmatrix 1 & -1/2 & 1/6 & 0 & -1/30\ & 1/2 & -1/2 & 1/4 & 0\ & & 1/3 & -1/2 & 1/3 & & & 1/4 & -1/2\ & & & & 1/5 endpmatrix $$ Esto se factoriza como $$ M_P_(4)^-1= beginpmatrix 1 & -1 & 1 & 0 & -1/6\ & 1 & -3/2 & 1 & 0\ & & 1 & -2 & 5/3\ & & & 1 & – 5/2\ & & & & 1 endpmatrix beginpmatrix 1 & & & & \ & 1/2 & & & \ & & 1/3 & & \ & & & 1/ 4 & \ & & & & 1/5 endpmatrix $$ Desafortunadamente, como podemos leer, las columnas en la matriz de la izquierda no nos dan polinomios de Bernoulli 🙁
Aunque, tenga en cuenta que la primera fila de la matriz en (1) nos da números de Bernoulli. Quizás la primera fila de la matriz inversa hace te dan los números de Bernoulli, pero no obtienes los polinomios de Bernoulli.
Nuevamente, lea esto con precaución y sospecha: ¡el buen lector debe calcular esto y verificarlo por sí mismo!
Apéndice
Escribir
$$ M_P_(n) = UD $$
donde $D$ es una matriz diagonal, y $U=I+X$ es una matriz triangular superior unitaria (aquí $X$ es la parte estrictamente triangular superior de $U$). El reclamo es que
$$(DU)^-1=(I+X)^-1D^-1=(I-X+X^2-X^3+puntos+(-1 )^nX^n)D^-1$$
produce los coeficientes de los polinomios de Bernoulli en las columnas, y la primera fila son los números de Bernoulli. Afirmo que lo primero (datos polinómicos de Bernoulli) implica lo último (la primera fila consta de números de Bernoulli), y afirmo que esto es obvio.
Conjetura
Parece que el OP encontró la versión matricial de los polinomios de Bernoulli descritos en Wikipedia usando diferencias directas.
Hubiera instado al OP a cambiar la notación y usar matrices triangulares más bajas. ¿Por qué? Porque entonces podrías escribir $$ M_P_(n)beginbmatrix0\ 0\vdots\0\ x^nendbmatrix cong (1+x )^n+1-x^n+1 $$ en forma vectorial. La notación actual exige que usemos vectores fila para polinomios.
Estoy a punto de irme a la cama, así que no creo tener tiempo para probar mi conjetura. Si nadie lo ha probado para mañana, intentaré escribir una prueba.
Recuerda que puedes dar recomendación a esta división si lograste el éxito.