Luego de investigar con expertos en el tema, programadores de deferentes ramas y maestros dimos con la respuesta a la pregunta y la compartimos en este post.
Solución:
Una variable aleatoria de Bernoulli tiene dos resultados posibles: $0$ o $1$. Una distribución binomial es la suma de independiente y idénticamente variables aleatorias de Bernoulli distribuidas.
Entonces, por ejemplo, supongamos que tengo una moneda y, cuando la lanzo, la probabilidad de que caiga cara es $p$. Entonces, la probabilidad de que caiga cruz es $1-p$ (no hay otros resultados posibles para el lanzamiento de la moneda). Si la moneda sale cara, ganas un dólar. Si la moneda sale cruz, no ganas nada.
Para único lanzamiento de una moneda, la probabilidad de que ganes un dólar es $p$. La variable aleatoria que representa sus ganancias después de lanzar una moneda es una variable aleatoria de Bernoulli.
Ahora, si lanzas la moneda $5$ veces, tus ganancias pueden ser cualquier número entero de dólares desde cero hasta cinco dólares, inclusive. La probabilidad de que ganes cinco dólares es $p^5$, porque cada lanzamiento de moneda es independiente de los demás, y para cada lanzamiento de moneda la probabilidad de cara es $p$.
¿Cuál es la probabilidad de que ganes exactamente tres dólares en cinco lanzamientos? Eso requeriría que lanzaras la moneda cinco veces, obteniendo exactamente tres caras y dos cruces. Esto se puede lograr con probabilidad $binom53 p^3 (1-p)^2$. Y, en general, si hay $n$ ensayos de Bernoulli, entonces la suma de esos ensayos se distribuye binomialmente con los parámetros $n$ y $p$.
Tenga en cuenta que una variable aleatoria binomial con parámetro $n = 1$ es equivalente a una variable aleatoria de Bernoulli, es decir, solo hay un ensayo.
Todas las distribuciones de Bernoulli son distribuciones binomiales, pero la mayoría de las distribuciones binomiales no son distribuciones de Bernoulli.
Si $$ X=begincases 1 & textcon probabilidad p, \ 0 & textcon probabilidad 1-p, endcases $$ entonces la distribución de probabilidad de la variable aleatoria $ X$ es una distribución de Bernoulli.
Si $X=X_1+cdots+X_n$ y cada uno de $X_1,ldots,X_n$ tiene una distribución de Bernoulli con el mismo valor de $p$ y son independientes, entonces $X$ tiene una distribución binomial, y la posible los valores de $X$ son $ ,1,2,3,ldots,n$. Si $n=1$ entonces esa distribución binomial es una distribución de Bernoulli.
Una distribución de Bernoulli es un caso especial de distribución binomial. Específicamente, cuando $n=1$ la distribución binomial se convierte en la distribución de Bernoulli.
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