Solución:
Si $ nabla f ({ bf x} _0) not = { bf 0} $, entonces el jacobiano de $ f $ (es decir, $ nabla f $) tiene un rango máximo en $ { bf x} _0 $ . Esto significa que el teorema de la función implícita se puede aplicar de modo que $ {{ bf x} in mathbb {R} ^ {n} , | , f ({ bf x}) = { bf c} } $ es una subvariedad de $ mathbb {R} ^ n $. Esto significa que en cada punto del conjunto de niveles hay un difeomorfismo entre una vecindad de ese punto y un conjunto abierto en $ mathbb {R} ^ {n-1} $.
En este punto, sabemos que el conjunto de niveles tiene un espacio tangente bien definido. Hay curvas $ n-1 $ cuyos vectores tangentes son linealmente independientes. Entonces podemos aplicar el argumento estándar a cada una de estas curvas. Usando la regla de la cadena, tenemos $ f ({ bf r}
Entonces tienes razón. El teorema de la función implícita se está utilizando para garantizar que las curvas que necesitamos realmente existan.
Editar: Algunos detalles más.
Tome un punto en la superficie nivelada, digamos $ { bf x} _0 = (x_1, dots, x_ {n-1}, y_0) = ({ bf z} _0, y_0) $. Suponga que $ nabla f ({ bf x} _0) not = 0 $. Por conveniencia, suponga que el último componente del gradiente no es cero.
Entonces existe una región $ D $ en $ mathbb {R} ^ {n-1} $ de puntos “cercanos a” $ { bf z} _0 $ tal que $ g (t_1, dots, t_ {n- 1}) $ es una función de $ D $ a $ mathbb {R} $ y $ f (t_1, dots, t_ {n-1}, g (t_1, dots, t_ {n-1})) = { bf c} $ para todos los $ (t_1, dots, t_ {n-1}) $ en $ D $ [This is the implicit function theorem in action. It allowed us to “solve” for the last variable in terms of the others.] Ahora podemos definir $ { bf r} _i