Solución:
La fórmula $$ sum_ {i = 1} ^ 3 p_i q_i $$ para el producto escalar obviamente se cumple solo para la forma cartesiana de los vectores. La suma propuesta de los tres productos de los componentes ni siquiera es dimensionalmente correcta: las coordenadas radiales son dimensionales mientras que los ángulos son adimensionales, por lo que simplemente no se pueden sumar.
No se puede simplificar mucho el cálculo. A lo sumo, uno puede darse cuenta de que el producto interno solo dependerá de $ phi_1, phi_2 $ a través de su diferencia $ phi_1- phi_2 $ porque se puede usar la simetría rotacional alrededor del eje $ z $ para establecer, por ejemplo, $ phi_2 $ = 0.
Mientras lo hacemos, podemos establecer $ phi_2 = 0 $ es decir, $ y_2 = 0 $ y el producto interno se reduce a $$ x_1 x_2 + z_1 z_2 = r_1r_2 ( sin theta_1 sin theta_2 cos phi_1 + cos theta_1 cos theta_2) $$ Podemos restaurar la forma para una rotación general reemplazando $ phi_1 $ en la fórmula anterior por $ phi_1- phi_2 $ para obtener el producto interno $$ r_1r_2 ( sin theta_1 sin theta_2 cos ( phi_1- phi_2) + cos theta_1 cos theta_2) $$ que es lo mismo que tu fórmula porque $ cos (ab) = cos a cos b + sin a pecado b $.
Observe que el vector de radio de un punto en el espacio con coordenadas esféricas $ r, theta, phi $ Se puede escribir como $$ mathbf {r} = r mathbf { hat {r}} ( theta, phi), $$ dónde $$ mathbf { hat {r}} ( theta, phi) = sin theta cos phi mathbf { hat {x}} + sin theta sin phi mathbf { hat {y}} + cos theta mathbf { hat {z}}. $$ Así, las componentes del vector radio con respecto a la “base esférica” $ ( mathbf { hat {r}} ( theta, phi), boldsymbol { hat { theta}} ( theta, phi), boldsymbol { hat { phi}} ( theta , phi)) $ EN EL PUNTO con coordenadas esféricas $ (r, theta, phi) $ (Es MUY importante darse cuenta de que los vectores unitarios esféricos son en realidad campos vectoriales, ¡varían de un punto a otro!) NO lo son $ (r, theta, phi) $. En cambio, son $ (r, 0,0) $! En efecto, $ theta $ y $ phi $, al no tener dimensión física, no pueden ser los componentes de un vector.
Cuando $ r_1, theta_1, phi_1 $ y $ r_2, theta_2, phi_2 $ son conocidos por dos vectores $ mathbf {p} _1, mathbf {p} _2 $, tenemos $$ mathbf {p} _1 = r_1 mathbf { hat {r}} ( theta_1, phi_1) quad text {y} quad mathbf {p} _2 = r_2 mathbf { hat {r }} ( theta_2, phi_2). $$ (Con respecto a la base esférica, estamos obligados a utilizar diferentes vectores unitarios $ mathbf { hat {r}} ( theta_1, phi_1) $ y $ mathbf { hat {r}} ( theta_2, phi_2) $! Esta es una diferencia notable entre las coordenadas cartesianas y las coordenadas esféricas). begin {align} mathbf {p} _1 cdot mathbf {p} _2 & = left[r_1mathbf{hat{r}}(theta_1,phi_1)right] cdot left[r_2mathbf{hat{r}}(theta_2,phi_2)right]\ & = r_1r_2 mathbf { hat {r}} ( theta_1, phi_1) cdot mathbf { hat {r}} ( theta_2, phi_2) \ & = r_1r_2 left ( sin theta_1 cos phi_1 mathbf { hat {x}} + sin theta_1 sin phi_1 mathbf { hat {y}} + cos theta_1 mathbf { hat {z}} right) cdot left ( sin theta_2 cos phi_2 mathbf { hat {x}} + sin theta_2 sin phi_2 mathbf { hat {y}} + cos theta_2 mathbf { hat { z}} right) \ & = r_1r_2 left ( sin theta_1 sin theta_2 cos phi_1 cos phi_2 + sin theta_1 sin theta_2 sin phi_1 sin phi_2 + cos theta_1 cos theta_2 right) \ & = r_1r_2 left[sintheta_1sintheta_2cos(phi_1-phi_2)+costheta_1costheta_2right]. end {align} Esta es la fórmula que ha dado en su publicación. Cuando ponemos $ r_1 = r_2 = 1 $ y llama $ omega $ el ángulo entre $ mathbf {p} _1 $ y $ mathbf {p} _2 $, obtenemos una fórmula bastante establecida, a saber $$ cos omega = sin theta_1 sin theta_2 cos ( phi_1- phi_2) + cos theta_1 cos theta_2 $$ ya que $ mathbf {p} _1 cdot mathbf {p} _2 = r_1r_2 cos omega = cos omega $.
EDITAR: no importa, su pregunta terminó en la parte superior de la lista porque alguien editó recientemente su OP. Mi mal por no darme cuenta de la fecha de 2016 a su debido tiempo …