Esta división ha sido aprobado por nuestros expertos así aseguramos la veracidad de nuestro post.
Solución:
Ha inferido correctamente que solo hay dos posibilidades:
- Las dos bombas están en $A$ y $D$.
- Las dos bombas están en $B$ y $C$.
El sentido común ahora dicta que estas dos opciones son igualmente probables. La única manera de demostrar que las dos opciones sean igualmente probables requiere el conocimiento de cómo se generó el tablero del buscaminas. Estaría en el espíritu del buscaminas si la información sobre las posiciones de las bombas solo pudiera inferirse del propio tablero, y no del código subyacente que genera los tableros. Entonces, si el juego del buscaminas fue codificado “correctamente”, entonces sí, ambas opciones son igualmente probables. Pero a menos que pueda darnos el código del juego de buscaminas específico que está jugando, no hay forma de probar tal afirmación.
sabes
- exactamente uno de A y C es una bomba
- exactamente uno de B y D es una bomba
- exactamente uno de A y B es una bomba
Entonces, como dices, hay dos posibilidades.
- A y D son bombas mientras que B y C no lo son.
- B y C son bombas mientras que A y D no lo son
Por lo que puedo decir, estos tienen la misma probabilidad
Aquí hay una prueba matemáticamente rigurosa de la declaración:
Supongamos que el tablero consta de $n$ campos de los cuales $k$ son minas y el campo se crea eligiendo al azar $k$ números de $1$ a $n$ sin repeticiones. Esta es una suposición razonable, ya que Fisher-Yates-Shuffles produciría una forma efectiva y fácil de crear un campo aleatorio y todos los campos serían posibles e igualmente probables.
Introducimos las variables aleatorias A, B, C, D que son $1$ si el campo correspondiente tiene una mina y $0$ en caso contrario. Podemos inferir la siguiente información de las posiciones de banderas y números: $$A + B = A + C = B + D = 1$$
Lo que ahora quieres calcular es una probabilidad condicional: $$beginalign*&P(A = 1 | A + B = A + C = B + D = 1) = fracP(A = 1, A + B = A + C = B + D = 1)P(A + B = A + C = B + D = 1) \ &= fracP(A = D = 1, C = B = 0)P(A + B = A + C = B + D = 1) \ &= fracP(A = D = 1, C = B = 0)P((A = D = 1, C = B = 0) vee (A = D = 0, C = B = 1))endalign*$$
Ahora los dos eventos $A = D = 1, C = B = 0$ y $A = D = 0, C = B = 1$ son disjuntos, por lo que la probabilidad de su unión es la suma de sus probabilidades. Es fácil ver que ambos tienen la misma probabilidad, a saber, $n – 4choose k – 2cdot n choose k^-1$. Dado que el Evento en el numerador también se cumple con la misma probabilidad, esto produce $$P(A = 1 | A + B = A + C = B + D = 1) = frac12.$$
Así que es un cambio de 50:50 si las bombas están en $A$ y $D$ o en $B$ y $C$.
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