¿Probabilidad de ganar un partido de tenis?

Solución:

Aquí está mi intento, agradecería comentarios:

Sea $ p $ la probabilidad de que el jugador A gane un solo punto.

(1) El jugador A puede ganar después de 40-0, con probabilidad $ p ^ 4 $

(2) El jugador A puede ganar después de 40-15 con probabilidad $ {4 choose 1} times p ^ 4 (1-p) $

(3) El jugador A puede ganar después de 40-30 con probabilidad $ {5 choose 2} times p ^ 4 (1-p) ^ 2 $

(4) El jugador A puede alcanzar el deuce, con probabilidad $ {6 choose 3} times p ^ 3 (1-p) ^ 3 $, y una vez que se alcanza el deuce, el jugador A ganará con una probabilidad de $ frac { p ^ 2} {1-2p (1-p)} $ (http://www.austinrochford.com/posts/2013-04-25-probability-and-deuces-in-tennis.html)

Por lo tanto, la probabilidad de que el jugador A gane el juego está dada por,

$$ P (Win) = p ^ 4 + {4 choose 1} cdot p ^ 4 (1-p) + {5 choose2} cdot p ^ 4 (1-p) ^ 2 + {6 choose 3} cdot frac {p ^ 5 (1-p) ^ 3} {1-2p (1-p)} $$

Numéricamente, este problema es fácil usando cadenas de Markov. Es un poco complicado crear la matriz de transición. Pegaré un código R que creé solo por diversión.

transition_matrix <- function(p_win) {

    half_states <- c(0, 15, 30, 40)

    state <- function(own, opp) paste0(half_states[own], "https://foroayuda.es/", half_states[opp])

    states <- c(state(expand.grid(1:4, 1:4)[, 1], expand.grid(1:4, 1:4)[, 2]), 'won', 'lost')

    tm <- array(0, dim = c(length(states), length(states)))

    colnames(tm) <- states
    rownames(tm) <- states

    rex <- '^([0-9]+)/([0-9]+)$'

    for (s in states) {
        if (grepl(rex, s)) {
            own <- which(half_states == gsub(rex, '\1', s))
            opp <- which(half_states == gsub(rex, '\2', s))

            stopifnot(length(own) == 1, length(opp) == 1)

            if (own < 4) {
                j_win <- which(states == state(own + 1, opp))
            } else {
                if (opp < 4) {
                    j_win <- which(states == 'won')
                } else {
                    j_win <- which(states == '40/30')
                }
            }
            if (opp < 4) {
                j_lost <- which(states == state(own, opp + 1))
            } else {
                if (own < 4) {
                    j_lost <- which(states == 'lost')
                } else {
                    j_lost <- which(states == '30/40')
                }
            }

            stopifnot(length(j_win) == 1, length(j_lost) == 1)

            i  <- which(rownames(tm) == s)

            tm[i, j_win]  <- p_win
            tm[i, j_lost] <- 1 - p_win

        } else {
            if (s == 'won') tm['won', 'won'] <- 1 else tm['lost', 'lost'] <- 1
        }
    }

    tm
}

Por ejemplo, transition_matrix (0.3) es:

      0/0 15/0 30/0 40/0 0/15 15/15 30/15 40/15 0/30 15/30 30/30 40/30 0/40 15/40 30/40 40/40 won lost
0/0     0  0.3  0.0  0.0  0.7   0.0   0.0   0.0  0.0   0.0   0.0   0.0  0.0   0.0   0.0   0.0 0.0  0.0
15/0    0  0.0  0.3  0.0  0.0   0.7   0.0   0.0  0.0   0.0   0.0   0.0  0.0   0.0   0.0   0.0 0.0  0.0
30/0    0  0.0  0.0  0.3  0.0   0.0   0.7   0.0  0.0   0.0   0.0   0.0  0.0   0.0   0.0   0.0 0.0  0.0
40/0    0  0.0  0.0  0.0  0.0   0.0   0.0   0.7  0.0   0.0   0.0   0.0  0.0   0.0   0.0   0.0 0.3  0.0
0/15    0  0.0  0.0  0.0  0.0   0.3   0.0   0.0  0.7   0.0   0.0   0.0  0.0   0.0   0.0   0.0 0.0  0.0
15/15   0  0.0  0.0  0.0  0.0   0.0   0.3   0.0  0.0   0.7   0.0   0.0  0.0   0.0   0.0   0.0 0.0  0.0
30/15   0  0.0  0.0  0.0  0.0   0.0   0.0   0.3  0.0   0.0   0.7   0.0  0.0   0.0   0.0   0.0 0.0  0.0
40/15   0  0.0  0.0  0.0  0.0   0.0   0.0   0.0  0.0   0.0   0.0   0.7  0.0   0.0   0.0   0.0 0.3  0.0
0/30    0  0.0  0.0  0.0  0.0   0.0   0.0   0.0  0.0   0.3   0.0   0.0  0.7   0.0   0.0   0.0 0.0  0.0
15/30   0  0.0  0.0  0.0  0.0   0.0   0.0   0.0  0.0   0.0   0.3   0.0  0.0   0.7   0.0   0.0 0.0  0.0
30/30   0  0.0  0.0  0.0  0.0   0.0   0.0   0.0  0.0   0.0   0.0   0.3  0.0   0.0   0.7   0.0 0.0  0.0
40/30   0  0.0  0.0  0.0  0.0   0.0   0.0   0.0  0.0   0.0   0.0   0.0  0.0   0.0   0.0   0.7 0.3  0.0
0/40    0  0.0  0.0  0.0  0.0   0.0   0.0   0.0  0.0   0.0   0.0   0.0  0.0   0.3   0.0   0.0 0.0  0.7
15/40   0  0.0  0.0  0.0  0.0   0.0   0.0   0.0  0.0   0.0   0.0   0.0  0.0   0.0   0.3   0.0 0.0  0.7
30/40   0  0.0  0.0  0.0  0.0   0.0   0.0   0.0  0.0   0.0   0.0   0.0  0.0   0.0   0.0   0.3 0.0  0.7
40/40   0  0.0  0.0  0.0  0.0   0.0   0.0   0.0  0.0   0.0   0.0   0.3  0.0   0.0   0.7   0.0 0.0  0.0
won     0  0.0  0.0  0.0  0.0   0.0   0.0   0.0  0.0   0.0   0.0   0.0  0.0   0.0   0.0   0.0 1.0  0.0
lost    0  0.0  0.0  0.0  0.0   0.0   0.0   0.0  0.0   0.0   0.0   0.0  0.0   0.0   0.0   0.0 0.0  1.0
> 

Ahora, lo que buscas es el resultado tras jugar infinitos puntos. Para propósitos prácticos, multiplicar la matriz por sí misma 20 veces es como jugar 2 ^ 20 == 1,048,576 puntos. Puede esperar que todos los caminos se ‘ganen’ o ‘pierdan’ después de esa cantidad de puntos.

for (time in 1:20) tm <- tm %*% tm

Y lo que obtienes es la probabilidad de ganar para cada posible estado inicial, no solo 0/0.

> tm[1:16, c('won', 'lost')]
              won      lost
0/0   0.099211034 0.9007890
15/0  0.210981724 0.7890183
30/0  0.412168966 0.5878310
40/0  0.710224138 0.2897759
0/15  0.051309310 0.9486907
15/15 0.124758621 0.8752414
30/15 0.284431034 0.7155690
40/15 0.586034483 0.4139655
0/30  0.019831034 0.9801690
15/30 0.056327586 0.9436724
30/30 0.155172414 0.8448276
40/30 0.408620690 0.5913793
0/40  0.004189655 0.9958103
15/40 0.013965517 0.9860345
30/40 0.046551724 0.9534483
40/40 0.155172414 0.8448276
>   

Además, puede resolver el problema inverso usando optimizar ()

sq_error <- function (p_win, p_win_game) {
    tm <- transition_matrix(p_win)

    for (time in 1:20) tm <- tm %*% tm

    (tm['0/0', 'won'] - p_win_game)^2
}

p_win <- optimize(function(p) sq_error(p, p_win_game = 0.3), c(0, 1))$minimum

> p_win
[1] 0.4166342

---

---

Utiliza Nuestro Buscador