Solución:
Para una prueba de que los únicos tensores invariantes de $ { rm SO} (N) $ son productos de los símbolos de $ delta_ {ab} $ y de Levi-Civita, véase M. Spivak, Una introducción completa a la geometría diferencial (segunda edición) Vol. V, págs. 466-481. El número de páginas necesarias para el argumento muestra que no es trivial.
Acabo de buscar la tercera edición de Spivak vol V. Lo que se necesita es el teorema 35 en la página 327. Esta es la sección titulada “Un resumen de la teoría clásica invariante”. Escribe en términos de invariantes escalares, pero, por supuesto, un tensor invariante se convierte en invariante escalar cuando se contrae con suficientes vectores, y cualquier invariante escalar de este tipo surge de un tensor invariante.
El grupo de rotación ($ O (3) $ para el espacio euclidiano, $ O (1,3) $ para la firma de Minkowski) es definido como el grupo de todos transformaciones lineales que preservan el tensor métrico. Si hubiera otros tensores independientes, esto daría restricciones adicionales, por lo que necesariamente definiría un subgrupo del grupo de rotación.
Exigir que la forma de volumen (~ la Levi-Civita) también se conserve, de hecho, se restringe al grupo de rotación especial.
En primer lugar, Kronecker $ delta $ es $ textit {Diff} $ – invariante ya que se define como el emparejamiento dual $ <.,.>: V ^ * otimes V to k. $ Sus componentes son $ { delta ^ mu} _ nu = delta ( mathrm dx ^ mu, parcial_ nu) = < mathrm dx ^ mu, parcial_ nu> = delta ^ mu_ nu $, donde el último “$ delta ^ mu_ nu $” es simplemente el símbolo de Kronecker, igual a 1 o 0 de la forma habitual. Lo mismo ocurre en cualquier sistema de coordenadas. Siéntase libre de desarrollar los detalles usted mismo.
Ahora, siento la necesidad de aclarar algo sobre covarianza, invariancia y el grupo de difeomorfismo. Enumera los grupos de Galileo y Poincaré junto con difeomorfismos. Esto está mal, y muchos libros de texto sobre GR lo pasan por alto rápidamente para presentar las ecuaciones de Einstein y discutir soluciones. Genial, pero me dio muchos dolores de cabeza innecesarios, y esos son posiblemente los peores tipos de dolores de cabeza.
Consideremos $ ( mathcal M, g, nabla) $ donde $ nabla $ es la conexión Levi-Civita (es decir, compatible con el sistema métrico) (es decir, $ nabla g = 0 $). También observamos que cualquier campo vectorial $ xi $ genera un difeomorphsim de 1 parámetro a través del retroceso por su flujo $ { phi_t}: mathbb R times mathcal M to mathcal M $, lo que satisifía $ phi_ { t + s} = phi_t circ phi_s $ y $ phi_0 = 1 $. Localmente, $ phi_t = exp {t xi} $. Perdón por pasar por alto los detalles. Simplemente significa que si las cosas son iguales en la dirección en la que apunta un vector, seguirán siendo las mismas si sigues el vector a lo largo de todo el camino, usándolo como una brújula.
Ahora, se puede demostrar que la invariancia de difeomorfismo $ { phi_t} ^ * g = g $ implica $ mathcal L_ xi g = 0. $ Sin embargo, $$ mathcal L_ xi g_ {ab} = 2 nabla_ { (a} xi_ {b)} neq 0 $$ en general, excepto para los campos Killing. La métrica es siempre covariante, pero no es en general invariante bajo difeomorfismos. El espacio de Minkowski tiene el máximo número posible de vectores Killing: tiene 10 vectores que corresponden a los 10 generadores del grupo de Poincaré. Además del espacio de Minkowski, solo los espacios deSitter y AntideSitter tienen esta propiedad. Esto no es algo que podamos esperar de GR. La métrica de Kerr que describe un agujero negro en rotación solo tiene un subgrupo bidimensional del grupo de Poincaré: traslaciones de tiempo y rotaciones alrededor de un solo eje.
El grupo completo de difeomorfismo no es una simetría sino una indicador simetría. Representa nuestra libertad para describir la naturaleza en un sistema de coordenadas diferente, pero no una simetría del sistema físico en sí. Para ello, necesitamos campos Killing que generen lo que normalmente entendemos por “simetría”. Para ilustrar mi afirmación de que es una simetría de calibre, en la gravedad linealizada tenemos la transformación de calibre $$ gamma_ {ab} to gamma_ {ab} ‘= gamma_ {ab} – nabla_a xi_b- nabla_b xi_a $$ que corresponde a $ ( mathcal M, g) $ y $ ( mathcal M, { phi_t} ^ * g) $ que representan el mismo espacio-tiempo. Vemos que $ gamma_ {ab} ‘= gamma_ {ab} $ si se trata de una “simetría adecuada”. Además, podemos definir cargas conservadas solo usando las simetrías de Killing. En el caso del agujero negro de Kerr, estos corresponden a la masa y al momento angular total.
¿Más claro? En resumen: cualquier cosa que escribamos como $ T_ {a_1a_2, …} ^ {b_1 b_2, …} $ es covariante. Esto solo significa que obtiene todos esos factores de derivada parciales bajo un cambio de coordenadas (es decir, difeomorfismo). Como ejemplo, tome la métrica de Minkowski $$ eta = – mathrm dt ^ 2 + mathrm dx ^ 2 + mathrm dy ^ 2 + mathrm dz ^ 2 $$ Si cambiamos a coordenadas esféricas, obtenemos $$ eta = – mathrm dt ^ 2 + mathrm dr ^ 2 + r ^ 2 mathrm d theta ^ 2 + r ^ 2sin ^ 2 theta mathrm d phi ^ 2 $$ Claramente no es lo mismo, pero es covariante. Una transformación de simetría real sería usar el grupo de Poincaré, y luego la métrica se vería exactamente igual, por lo que sería invariante.
Hay muchos tensores invariantes si tenemos un campo Killing. Dado un campo Killing $ xi_a $, podemos construir un nuevo tensor invariante, $ xi_a xi_b $. Por ejemplo, $$ h_ {ab} equiv g_ {ab} – ( xi ^ a xi_a) ^ {- 1} xi_a xi_b $$ es la métrica de un hiperplano espacial o temporal ortogonal a la órbita de $ xi_a $, y es invariante. Estos pueden no ser invariantes bajo la acción de otro Sin embargo, campo de la muerte. Solo en circunstancias especiales. Usar tensores formados por la métrica es una apuesta segura, ya que las simetrías están dadas explícitamente por la invariancia de la métrica.