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Solución:
Aquí está la prueba tomada de la “Teoría clásica de los campos” de Landau & Lifshitz:
Tome el vector complejo (3): $$ mathbfF = mathbfE+i, mathbfB. $$ Ahora considere el comportamiento de este vector bajo transformaciones de Lorentz. Es fácil demostrar que los impulsos de Lorentz corresponden a rotaciones a través de los ángulos imaginarios, por ejemplo, impulso en el plano $(x,t)$: beginreunir F_x=F’_x,\ F_y = F’_y cosh psi – i F’_z sinh psi = F’_y cos i psi – F’_z sin i psi. \ F_z = F’_z cos i psi + F’_y sin i psi, endreunir donde $tanh psi = fracvc$, corresponden a la rotación de $mathbf F$ a través del ángulo imaginario $i psi$ en el plano $(y,z)$.
En general, el conjunto de todas las transformaciones de Lorentz (incluyendo también las rotaciones puramente espaciales) es equivalente al conjunto de todas las posibles rotaciones a través de ángulos complejos en el espacio tridimensional (donde los seis ángulos de rotación en el espacio cuatridimensional corresponden a los tres ángulos complejos de rotación del sistema tridimensional).
La única invariante de un vector con respecto a la rotación es su cuadrado: $mathbfF^2 = E^2 – B^2 + 2 i (mathbfEcdot mathbfB)$ así el las cantidades reales $E^2-B^2$ y $(mathbfEcdot mathbfB)$ son las únicas dos invariantes independientes del tensor $F_munu$.
Entonces, en esencia, reducimos el problema del invariante de $F_munu$ bajo la transformada de Lorentz a los invariantes de un 3-vector bajo rotaciones que es el cuadrado de un vector (y solo él). Entonces cualquier invariante $I(F)$ tiene que ser la función de $Re(F^2)$ y $Im(F^2)$.
Aquí hay otra prueba.
Supongamos que existe otro invariante $I_3$ funcionalmente independiente de $I_1= E^2-B^2$ y $I_2=mathbfBcdotmathbfE$. Esto significaría que
-
Hay pares de vectores $(mathbfE,mathbfB)$ y $(mathbfE’,mathbfB’)$, que tienen el mismo $I_1$ y $I_2$ pero que no pueden convertirse entre sí mediante alguna transformación de Lorentz (porque tienen diferentes valores de invariante $I_3$).
-
Si una transformación de Lorentz cambia un par $(mathbfE,mathbfB)$ en $(mathbfE’,mathbfB’)$, entonces hay otro par $(mathbf E”,mathbfB”)$ con el mismo $I_1$ y $I_2$ (pero diferente $I_3$) que ninguna transformación de Lorentz puede transformar en $(mathbfE’,mathbf B’)$.
Es fácil demostrar que tanto 1 como 2 son false. Vamos a refutar (2). Para hacer eso, elijamos la forma particular única de $(mathbfE’,mathbfB’)$ donde $mathbfE’$ y $mathbfB’$ son paralelos al eje $x$ (y $E_xge 0$). Esto puede siempre hacerse en caso de que al menos uno de $I_1$ o $I_2$ sea distinto de cero con una combinación de impulso a lo largo de la dirección mutuamente ortogonal a $bf E$ y $bf B$ con la velocidad $bf v$ que satisface $ $ fracmathbfv/c1+v^2/c^2=frac[mathbfEtimes mathbfB]E^2+B^2 $$ y rotación espacial (tenga en cuenta que tal transformación no es única). Dado que dicha transformación existe para todos los pares de $(mathbfE,mathbfB)$ y un par $(mathbfE’,mathbfB’)$ está definido de forma única por $I_1$ y $I_2$ demostramos que 2 es false. Entonces tenemos una contradicción y no existe un invariante independiente $I_3$.
Nota: Un caso especial de $I_1=0$, $I_2=0$ tiene que ser considerado por separado, pero no presenta problemas especiales.
Una demostración (constructiva) basada en Las invariantes del campo electromagnético (arxiv, 2014)
Presentamos una prueba constructiva de que todos los escalares de Lorentz invariantes de calibre en electrodinámica se pueden expresar como una función de los cuadráticos.
Resumen
Asumiendo un notación matricial generalizada para los tensores en electrodinámica.
Una forma conveniente de clasificar todos los escalares y pseudoescalares es escribir un invariante de orden $n$ (par o impar) en la intensidad de campo como:
$$I^(n) = F^alphabeta cdots F^kappalambda I_alphabeta ldots kappalambda spacespacespace (n espacio textrmfactores)$$
donde $I_alphabeta ldots kappalambda$ se construye a partir del único tensor y pseudotensor que son invariantes bajo las transformaciones de Lorentz propias: $eta_munu$ y $epsilon_alpha betamunu$.
Ahora hay 3 casos:
UNA.
El $I_alphabeta ldots kappalambda$ no contiene el tensor $epsilon_alphabetamunu$.
Entonces los invariantes tienen la forma genérica:
$$I^(n) = Tr(F^q)Tr(F^p) cdots Tr(F^r)$$
con $p+q+cdots+r=n$
La antisimetría de $F$ implica que $Tr(F^q)=0$ cuando $q$ es impar.
Incluso para $p$, la conservación de la paridad y la relación de recurrencia:
$$Tr(F^p) = −fracF2Tr(F^p−2) + fracG16Tr(F^p−4)$$
implica que todos los invariantes de esta forma se reducen a los invariantes cuadráticos (y funciones de ellos).
B.
El $I_alphabeta ldots kappalambda$ contiene $epsilon_alphabetamunu$ tensor un número par de veces.
En este caso, los tensores antisimétricos épsilon se pueden reducir de acuerdo con:
$$boxed;;epsilon_munurhosigmaepsilon_pideltakappalambda =detleft[beginarraycccc eta_mupi & eta_mudelta &eta_mukappa &eta_mulambda\ eta_nupi &eta_nudelta &eta_nukappa & eta_nulambda \ eta_rhopi & eta_rhodelta &eta_rhokappa & eta_rholambda\ eta_sigmapi & eta_sigmadelta &eta_sigmakappa &eta_sigmalambdaendarrayright];;$$
y luego se maneja como en el caso UN.
C.
El $I_alphabeta ldots kappalambda$ contiene $epsilon_alphabetamunu$ tensor un número impar de veces.
De manera similar al caso B. sobre todo, pero se puede reducir un factor épsilon que conduce a la forma genérica:
$$I_alphabeta ldots kappalambdamunupidelta = eta_alphabetacdotseta_kappalambdaepsilon_munu pidelta espacioespacioespacio(n-2 espacioespacio textfactores)$$
El único invariante con un tensor épsilon se reduce al factor de la forma genérica:
$$I^(q+r) = (F^q)^kappalambdaepsilon_kappalambdapidelta(F^r)^pidelta$$
que con relaciones de recurrencia similares a las de parte UN reduce a invariantes cuadráticas.
(consulte el documento para obtener detalles y las relaciones de recurrencia)
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