Solución:
La integral no debe tomarse en el espacio de funciones; está destinado a ocupar el espacio de distribuciones.
Si escribo $[f(x)]$ cuando me refiero a ver $ f (x) $ como una distribución en lugar de una función, entonces esta integral dice
$$ int _ {- infty} ^ { infty} [e^{ikx}] , mathrm {d} k = 2 pi delta (x) $$
(tenga en cuenta que $ delta (x) $ es una distribución, no una función, por lo que no necesito ponerle corchetes)
Dos distribuciones son iguales si y solo si tienen el mismo valor cuando se convolucionan con funciones de prueba. La ecuación anterior es afirmativa, para cada función de prueba $ f (x) $, tiene
$$ int _ {- infty} ^ { infty} left ( int _ {- infty} ^ { infty} [e^{ikx}] , mathrm {d} k right) f (x) , mathrm {d} x = int _ {- infty} ^ { infty} 2 pi delta (x) f (x) , mathrm {d} x $$
Cuáles son las funciones de prueba con precisión puede variar con el contexto; en este caso, probablemente estén destinadas a ser funciones que disminuyen rápidamente (también conocidas como funciones de Schwartz).
IIRC, las distribuciones provenientes de funciones de dos variables satisfacen
$$ int _ {- infty} ^ { infty} left ( int _ {- infty} ^ { infty} [g(x,y)] , mathrm {d} y right) f (x) mathrm {d} x = int _ {- infty} ^ { infty} left ( int _ {- infty} ^ { infty} g (x, y) f (x) , mathrm {d} x right) mathrm {d} y $$
(nótese el cambio de orden de las variables de integración)
En consecuencia, la ecuación anterior afirma
$$ int _ {- infty} ^ { infty} left ( int _ {- infty} ^ { infty} e ^ {ikx} f (x) , mathrm {d} x right) mathrm {d} k = 2 pi f (0) $$
Nótese, en particular, que la integral interna es la de funciones ordinarias, y el integrando es integrable.
Siguiendo el comentario de Sylvain, busque las fórmulas para la transformada de Fourier $ F (w) = int f
La respuesta de @Statics ataca con el argumento de que “si crees que la Transformación de Fourier es correcta, entonces debes aceptar esta definición de la Función Delta de Dirac”. Pero la razón por la que la Transformación de Fourier funciona en primer lugar es porque tenemos esta definición del Delta de Dirac. Así que el argumento de FT no me parece sólido.
La explicación de la distribución es correcta. Y la función delta tiene sentido bajo un signo integral. Podemos llegar a esta fórmula construyendo una secuencia de distribución $ delta_n (x) $, tal que:
$$ lim_ {n rightarrow infty} int ^ infty _ {- infty} delta_n (xa) f (x) dx = f (a) $$
Entonces el límite de la secuencia es $ delta (x) $, es decir
$$ lim_ {n rightarrow infty} delta_n (x) = delta (x) $$
Hay muchas formas de construir $ delta_n (xa) $. Un ejemplo común es:
$$ delta_n (xa) = sqrt { frac {n} { pi}} e ^ {- n (xa) ^ 2} $$
$$ = frac {1} {2 pi} int ^ infty _ {- infty} e ^ {- frac {k ^ 2} {4n}} e ^ {i (xa) k} dk $$
Como puede ver, la integral converge a
$$ frac {1} {2 pi} int ^ infty _ {- infty} e ^ {i (xa) k} dk $$
como $ n rightarrow infty $. E integrar $ f (x) $ con una distribución gaussiana dará el valor $ f (a) $ (para una prueba rigurosa, consulte los libros de texto sobre análisis funcional). Por lo tanto, podemos usar con seguridad
$$ frac {1} {2 pi} int ^ infty _ {- infty} e ^ {i (xa) k} dk = delta (xa) $$
Este es un bosquejo de la prueba, y definitivamente no es riguroso. Pero con suerte, puedes sacarle algo de sabor.