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¡norte! eventualmente crece más rápido que una exponencial con una base constante (2^n y e^n), ¡pero n^n crece más rápido que n! ya que la base crece a medida que n aumenta.
n! = n * (n-1) * (n-2) * ...
n^n = n * n * n * ...
Cada término después del primero en n^n es más grande, entonces n^n crecerá más rápido.
n^n crece más grande que n! — para una excelente explicación, vea la respuesta de @AlexQueue.
Para los demás casos, sigue leyendo:
Las funciones factoriales crecen asintóticamente más que las funciones exponenciales, pero no está claro de inmediato cuándo comienza la diferencia. por ejemplo, para n=5 y k=10el factorial 5!=120 es aún más pequeño que 10^5=10000. Para encontrar cuándo las funciones factoriales comienzan a crecer, tenemos que hacer un análisis matemático rápido.
Usamos la fórmula de Stirling y la manipulación básica de logaritmos:
log_k(n!) ~ n*log_k(n) - n*log_k(e)
k^n = n!
log_k(k^n) = log_k(n!)
n*log_k(k) = log_k(n!)
n = log_k(n!)
n ~ n*log_k(n) - n*log_k(e)
1 ~ log_k(n) - log_k(e)
log_k(n) - log_k(e) - 1 ~ 0
log_k(n) - log_k(e) - log_k(k) ~ 0
log_k(n/(e*k)) ~ 0
n/(e*k) ~ 1
n ~ e*k
Así, una vez n alcanza casi 3 veces el tamaño de k, las funciones factoriales comenzarán a crecer más que las funciones exponenciales. Para la mayoría de los escenarios del mundo real, usaremos valores grandes de n y pequeños valores de kpor lo que en la práctica podemos suponer que las funciones factoriales son estrictamente mayores que las funciones exponenciales.
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