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Solución:
La delta de Dirac debe definirse como una distribución: una función lineal que actúa sobre el espacio de funciones lisas con soporte compacto. Entonces este límite debe entenderse como:
$$lim_varepsilon to 0^+ int_-infty^infty fracsin left ( fracxvarepsilon right )pi x f (x) dx = f(0)$$
cuando sea $f$ es suave y tiene soporte compacto. (En realidad, el delta de Dirac puede extenderse a funciones continuas compatibles de forma compacta, pero este es el punto de partida).
Dicho esto, el argumento aquí es similar a la situación habitual de mostrar que cierta familia de funciones es una identidad aproximada. Primero debe reescribir en una forma más conveniente:
$$g_varepsilon(x) equiv fracsin left ( fracxvarepsilon right )pi x = frac1varepsilon frac sin left ( fracxvarepsilon right )pi fracxvarepsilon.$$
Ya que $int_-infty^infty fracsin(x)x dx = pi$vemos eso $g_varepsilon$ tiene integral $1$. La siguiente condición a verificar es que para cualquier conjunto compacto $K$ y cualquier $delta > 0$:
$$lim_varepsilon to 0^+ int_K setminus (-delta,delta) g_varepsilon(x) dx = 0.$$
Si no has visto esto antes, la intuición aquí es que $g_varepsilon$ tiene la misma masa para cualquier $varepsilon$ pero que esta masa se está concentrando en un intervalo arbitrariamente pequeño alrededor $0$.
Lo más habitual es que elijamos $g_varepsilon$ ser absolutamente integrable en toda la línea real, y en este caso podríamos ver $mathbbR setminus (-delta,delta)$ en cambio. En esta situación, no tenemos integrabilidad absoluta. Pero si solo trabajamos con funciones de prueba con soporte compacto, entonces podemos hacer esta generalización para que las cosas funcionen, tomando $K$ ser el apoyo de $f$ en la hipótesis anterior.
Una prueba relacionada es por transformadas de Fourier. Aquí hay un boceto de esta prueba:
La función sinc (con la escala adecuada) es la transformada de Fourier de la función indicadora de un intervalo centrado en $0$. La función delta es la transformada de Fourier de la función constante $1$ (de nuevo con la escala apropiada). Cuando $varepsilon$ es pequeño (cuando la masa se ha concentrado), $f_varepsilon$ es la transformada de Fourier de una función indicadora de un gran intervalo centrada en cero. (El fenómeno pequeño/grande aquí es más generalmente el principio de incertidumbre en el análisis de Fourier). Dado que las funciones indicadoras están convergiendo a la función constante $1$sus transformadas de Fourier convergen a la transformada de Fourier de $1$es decir $delta$.
Esta prueba con transformadas de Fourier es más difícil de formalizar. Por ejemplo, necesitamos mostrar que la transformada de Fourier es continua en algún sentido apropiado. Pero puede ser más intuitivo.