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Solución:
Sobre las energías negativas: no plantean ningún problema:
En este contexto, sólo las diferencias de energía tienen importancia. La energía negativa aparece porque cuando realizó la integración, estableció un punto en el que estableció su energía en 0. En este caso, eligió que $PE_1 = 0$ para $r = infty$. Si ha establecido $PE_1 = 1000$ en $r = infty$, la energía fue positiva durante algún r.
Sin embargo, el signo menos es importante, ya que indica que la partícula de prueba está perdiendo energía potencial cuando moviéndose a $r = 0$, esto es true porque está acelerando, provocando un aumento en $KE$:
calculemos el $Delta PE_1$ para una partícula que se mueve en la dirección de $r = 0$: $r_i = 10$ y $r_f = 1$:
$Delta PE_1 = PE_f – PE_i = Gm(-1 – (-0.1)) = -Gmtimes0.9 < 0$
como era de esperar: perdemos $PE$ y ganamos $KE$.
Segunda viñeta: sí, tienes razón. Sin embargo, es sólo true SI son partículas puntuales: si normalmente tienen un radio definido, chocan cuando $r = r_1 + r_2$, provocando un choque elástico o inelástico.
Tercer punto: tiene razón con $PE_2 = mgh$, sin embargo, nuevamente, está eligiendo una referencia dada: está asumiendo $PE_2 = 0$ para $y = 0$, lo que, en la notación anterior, significa que estaba configurando $PE_1 = 0$ para $ r = r_earth$.
La diferencia más importante ahora es que estás diciendo que un aumento en h es moviéndose más lejos en r (si estás más alto, estás más lejos del centro de la Tierra).
Haciendo la analogía con el problema anterior, imagina que quieres obtener el $Delta PE_2$. En este caso, comienza en $h_i = 10$ y desea pasar a $h_f = 1$ (moviéndose en dirección al centro de la Tierra, como $Delta PE_1$:
$Delta PE_2 = PE_f – PE_i = 1 mg – 10 mg = -9 mg < 0$.
Como era de esperar, debido a que estamos cayendo, estamos perdiendo $PE$ y ganando $KE$, el mismo resultado tiene $PE_1$
Cuarta viñeta: ambos representan lo mismo. La diferencia es que $gh$ es el primer término de la serie de Taylor de la expansión de $PE_1$ cerca de $r = r_Tierra$. Como ejercicio, intente desarrollar $PE_1(r)$ en una serie de Taylor y demuestre que el término lineal es:
$PE_1 = a + fracGm(r-r_tierra)r_tierra^2$.
Ellos calculan numéricamente $Gm/r_tierra^2$ (recuerda que $m=m_tierra$). Si aún no lo has hecho, supongo que te sorprenderás.
Entonces, por lo que entendí, tu lógica es totalmente correcta, aparte de dos key puntos:
-
la energía se define aparte de un valor constante.
-
en el $PE_1$, aumentar r significa disminuir $1/r$, lo que significa aumentar $PE_2 = -Gm/r$. En $PE_2$, aumentar h significa aumentar $PE_2=mgh$.
Primero (1) resumiré las diferencias entre las definiciones de PE1 y PE2 y luego (2) equipararé las dos.
(1) Primero, como esta respuesta a “¿Por qué la energía gravitatoria es negativa?” dice, PE1 define la energía potencial de un cuerpo de masa metro en el campo gravitatorio de una masa METRO como la energía (trabajo) requerida para llevarlo desde su posición actual $r$ hasta el infinito. PE1 asume que $r=infty$ es $PE=0$ $$PE1=frac−GMmr$$
PE2, por otro lado, se define como el negativo del trabajo realizado por la gravedad para levantar un cuerpo de masa metro desde la superficie de un planeta hasta una altura h por encima del planeta.
$$PE2=-W=-Fdcostheta =mgh$$
PE2 tiene un marco de referencia diferente al PE1, ya que asume $PE=0$ en $r=R$, o en la superficie del planeta. Además, y muy importante, PE2 solo se usa cuando un objeto está cerca de la superficie de un planetacuando $h<< gramo se puede suponer constante:
$$g=fracGM(R+h)^2 approx frac GMR^2$$
(2) Bien, ahora vamos a equiparar los dos. Aunque los marcos de referencia para PE1 y PE2 son diferentes, $|Delta PE|$ entre dos puntos seguramente debería ser el mismo. Por ejemplo, digamos que los dos puntos son la superficie del planeta y la altura h por encima del planeta.
PE1 dice $|Delta PE|=mgh-mg(0)=mgh$
PE2 dice $|Delta PE|=frac -GMmR+h- frac -GMmR=GMmleft(frac1R-frac1 R+hright)=GMmleft(frach+RR(R)(h+R)right)=fracGMmh(R)(R)(R+h)$
y porque $h<<
Y así, PE1 y PE2 representan la misma forma de energía, pero debemos tener en cuenta los marcos de referencia y las condiciones de uso cuando los usamos.
¡¡Espero que esto ayude!! Paz.
Es porque la fuerza gravitacional es atractiva y el trabajo lo realiza la propia fuerza gravitacional. Cuando el sistema hace trabajo en sí mismo, la energía se toma como negativa y cuando una agencia externa realiza trabajo sobre el sistema, la energía se toma como positiva.
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