Solución:
-
En pocas palabras, porque su ecuación EL sería diferente de la segunda ley relativista correcta de Newton
$$ frac d bf p dt ~ = ~ – frac parcial V parcial bf r, qquad bf p ~ = ~ gamma m bf v. etiqueta 1 $$
El lagrangiano correcto $ L $ en cambio, se puede encontrar integrando
$$ bf p ~ = ~ frac parcial L parcial bf v. etiqueta 2 $$ -
Otro argumento es que una acción relativista $ S = int ! mathrm d t ~ L $ debería ser mejor invariante de Lorentz, por ejemplo, proporcional al tiempo adecuado, que la propuesta de OP no lo es.
-
Consulte también, por ejemplo, esta respuesta Phys.SE.
Si retrocede hasta la derivación del Lagrangiano, creo que puede ver por qué el Lagrangiano relativista es lo que es. Por lo general, uno comienza con el principio de d’Alembert.
$$ sum_i left (F_i – dot p _i right) delta x_i = 0, $$
dónde $ F_i $ son las fuerzas que actúan sobre la partícula $ i $, $ p_i $ es su impulso, $ delta x_i $ es un desplazamiento virtual, y el punto designa la diferenciación con respecto al tiempo coordinado $ t $. Para el caso relativista, usamos el momento adecuado $ p = gamma mv $.
Centrándose solo en el término relevante:
$$ – dot p , delta x = – frac d ( gamma mv) dt , delta x $$
Usamos la regla de la cadena (o integramos por partes):
$$ = – frac d dt left ( gamma mv , delta x right) + gamma mv frac d ( delta x) dt $$
Cuando hacemos la variación completa, el primer término desaparece porque $ delta x = 0 $ en el límite. Bajo supuestos típicos, las derivadas ordinarias y variacionales conmutan:
$$ = gamma mv , delta v $$
Queremos terminar con una declaración como $ delta ( mathrm cosas) $. Si eres más inteligente que yo, es posible que veas que:
begin align delta left ( frac 1 gamma right) & = frac 1 2 left (1- frac v ^ 2 c ^ 2 derecha) ^ – 1/2 frac -2v c ^ 2 , delta v = – frac 1 c ^ 2 , gamma v , delta v \ delta left (- frac mc ^ 2 gamma right) & = gamma mv , delta v end align
o podrías saber la respuesta y ‘adivinar astutamente’ como lo hice yo.
Cuando pases por todo el galimatías variacional, terminarás con algo como:
$$ int_ t_i ^ t_f sum_i left (F_i – dot p _i right) delta x_i , mathrm d t = delta int_ t_i ^ t_f left (- sum_i frac m_i c ^ 2 gamma_i – V right) mathrm d t = 0 $$
Entonces, para una sola partícula
$$ L = – frac mc ^ 2 gamma – V. $$
¿De dónde viene el lagrangiano?
Entonces, mi enfoque habitual para enseñar la física lagrangiana proviene de la idea de que miras las leyes clásicas de Newton en el contexto de las fuerzas restrictivas,$$ frac d vec p dt = – nabla U + vec F _ text restricción. $$ Las fuerzas de restricción son estas cosas muy complicadas sobre las que razonar, ya que siempre actúan perpendiculares a una superficie (lo que puede ser una dirección muy complicada) y nunca tienen una magnitud fija (siempre es “por muy fuerte que deba ser para hacer cumplir la restricción”). Pero dado que los movimientos permitidos son siempre perpendiculares a la fuerza de restricción, podemos decir una cosa con gran certeza, $ vec F _ text c cdot vec v = 0. $ El problema es que esto solo nos da un resultado familiar: el teorema trabajo-energía $$ frac d dt left ( frac12 m vec v cdot vec v + U ( vec r) right) = 0, $$ pero eso ya no devuelve las ecuaciones de movimiento completas: de alguna manera al insertar la velocidad “correcta” en este producto escalar, hemos “perdido” información. Así que, en cambio, consideramos alguna perturbación del camino fuera del “true” sendero $ mathcal P = { vec r (t), ~~ t_0 que es alguna función $ delta vec r (t) $. Si esta perturbación del camino solo nos lleva dentro de las limitaciones, entonces $ vec F _ text c cdot delta vec r (t) = 0 $ similar. Uno puede volver a interpretar fácilmente $ U ( vec r + delta vec r) approx U + nabla U cdot delta vec r $ por eso $ – nabla U cdot delta vec r = – delta U $ de una forma muy natural. Pero lo que es algo antinatural es este término de “energía cinética” $ frac d vec p dt cdot delta vec r. $ Se parece un poco a $ vec v cdot delta vec v $ que podríamos interpretar como $ delta left ( frac12 v ^ 2 right), $ la idea es similar a la $ delta U $ caso, pero solo se ve así en una especie de “integración por partes”. Entonces, el enfoque de Lagrange es integrar legítimamente esto de $ t_0 a t_1, $ productor$$ tag A int_ t_0 ^ t_1 dt ~ left ( frac d vec p dt cdot delta vec r (t) + delta U right) = 0. $$Y luego nosotros pueden integrar por partes, y si restringimos nuestra elección de $ delta r $ sólo un poco para que los términos de frontera sean cero, luego encontramos $$ – delta left[int_t_0^t_1 dt~left(frac12 m v^2 – Uright) right] = 0. etiqueta B $$ Esto a su vez tiene toda la información que necesita para recuperar esas ecuaciones de movimiento nuevamente a través del “cálculo de variaciones”, en otras palabras, estos pasos eran completamente reversibles. Y normalmente ahora me lanzaría a una perorata ensalzando el gran valor de nuestra libertad resultante para elegir las coordenadas que deseemos para aplicar esos argumentos de cálculo variacional restantes: podemos hacer cumplir las restricciones eligiendo las coordenadas apropiadas en lugar de introducir complicadas fuerzas de restricción.
¿Cómo cambia la relatividad especial este argumento?
¡Sorprendentemente pequeño! Solo tenemos un pequeño cambio en la ecuación (A) y no cambia nuestro enfoque fundamental para encontrar un análogo a la ecuación (B). El cambio es que nuestro punto de partida contiene el impulso relativista $$ int_ t_0 ^ t_1 dt ~ left ( frac d dt left (m_0 ~ v over sqrt 1 – (v / c) ^ 2 right) cdot delta vec r + delta U right) = 0. tag A ‘ $$y así después de integrar por partes tenemos la expresión del medio $$ – vec v cdot delta vec v over sqrt 1 – (v / c) ^ 2. $$ El problema es que lo que quieres interpretar como algo como $$ delta left ( frac c ^ 2 sqrt 1 – (v / c) ^ 2 right) = frac vec v cdot delta vec v (1 – (v / c) ^ 2) ^ 3/2, $$
tal vez porque te ha seducido lo anterior $ L = K – U $ forma y desea sustituir en la energía cinética relativista. Desafortunadamente, si bien es una buena forma para recordando Lagrangianos no es una buena forma para entendiendo su naturaleza ya que es algo accidental a la real derivación que creamos arriba: puedes ver que obtienes $ delta left ( frac12 mv ^ 2 right) $ más o menos porque es la integral indefinida $ int dv ~ m ~ v $ y este operador de perturbación de ruta $ delta $ en muchos sentidos actúa como un operador derivado, por lo que la integral indefinida es la forma correcta de resolver tales cosas.
Por el contrario, la integral indefinida $$ int dv frac m_0 ~ v sqrt 1 – (v / c) ^ 2 = m_0 c ^ 2 sqrt 1 – (v / c) ^ 2, $$ de modo que esa es la expresión correcta en nuestro lagrangiano. Cualquier otra expresión conduce a un momento canónico incorrecto. Podemos encontrar eso $ c ^ 2 delta sqrt 1 – (v / c) ^ 2 = vec v cdot delta vec v / sqrt 1 – (v / c) ^ 2 $ y así razonar que $$ – delta left[int_t_0^t_1dt~left(m_0 c^2 sqrt1 – left(frac v cright)^2 – Uright)right] = 0, $$por eso $ L = gamma ^ – 1 ~ m_0 ~ c ^ 2 – U. $
Por supuesto, el momento adecuado satisface de manera famosa $ dt = gamma ~ d tau $ y por lo tanto una integral de $ dt / gamma $ es una integral de $ d tau $, por lo que hace que la acción sea integral relativistamente invariante, lo que uno podría haber deseado como un aspecto fundamental de la teoría: y al minimizar el tiempo adecuado entre el comienzo y el final, uno puede entender esto como una alusión al enfoque relativista general, donde esto es un especie de ecuación geodésica. Pero no me gusta comenzar la derivación de ninguno de esos lugares, ya que no es 100% obvio que la relatividad especial o general no va a responder “, está bien, los lagrangianos no son la forma correcta de pensar en mí, así que ¿qué?”. Prefiero acercarme por el otro lado y así derivar que los principios de acción siguen siendo una excelente manera de comprender los movimientos relativistas.
Calificaciones y reseñas
Más adelante puedes encontrar las observaciones de otros sys admins, tú incluso tienes la habilidad insertar el tuyo si lo deseas.