Después de mucho trabajar hemos dado con la respuesta de esta dificultad que tantos lectores de nuestro sitio han tenido. Si tienes algún detalle que aportar no dudes en compartir tu información.
Solución:
Si tiene una copia de Griffiths, tiene una buena discusión sobre esto en la sección de potencial de la función delta. En resumen, si la energía es menor que el potencial en $-infty$ y $+infty$, entonces es un estado ligado, y el espectro será discreto: $$ Psileft(x,tright) = sum_n c_n Psi_nleft(x,tright). $$ De lo contrario (si la energía es mayor que el potencial en $-infty$ o $+infty$), es un estado de dispersión, y el espectro será continuo: $$ Psileft(x,tright) = int dk cleft(kright) Psi_kleft (x,tderecha). $$ Para un potencial como el pozo cuadrado infinito o el oscilador armónico, el potencial va a $+infty$ en $pm infty$, por lo que solo hay estados ligados.
Para una partícula libre ($V=0$), la energía nunca puede ser menor que el potencial en cualquier lugar***, por lo que solo hay estados de dispersión.
Para el átomo de hidrógeno, $Vleft(rright) = – a / r$ con $a > 0$, por lo que hay estados ligados para $E < 0$ and scattering states for $E>0$.
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*** @Alex hizo un par de preguntas en los comentarios sobre por qué $E>0$ para una partícula libre, así que pensé en ampliar este punto.
Si reordenas la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo como $$ psi”= frac2mhbar^2 left(VEright) psi $$ verás que $psi”$ y $ psi$ tendría el mismo signo para todos los $x$ si $E < V_min$, y $psi$ no sería normalizable (no puede ir a $0$ en $pminfty$).
Pero, ¿por qué descontamos los $ E?
La respuesta es considerar la normalización de la función de onda total en $t=0$, utilizando el hecho de que si una función de onda se normaliza en $t=0$, permanecerá normalizada todo el tiempo (consulte el argumento que comienza en la ecuación 147 aquí):
$$ izquierda
$$
Para $E>0$, $psi_kleft(xright) = e^ikx$ donde $k^2 = 2 m E / hbar^2$, y la integral $x$ entre corchetes es $2pideltaleft(k-k’right)$, entonces
$$ izquierda
Para $E<0$, $psi_kleft(xright) = e^kx$ donde $k^2 = - 2 m E / hbar^2$, y la integral $x$ entre corchetes diverge, entonces $left
Significa lo mismo que significa en mecánica clásica: si está prohibido enérgicamente separarse a una distancia arbitrariamente grande, están “atados”.
La Tierra está unida gravitacionalmente al Sol y la Luna a la Tierra. Los electrones en un átomo neutro están unidos electromagnéticamente al núcleo. Un guisante que rueda en el fondo de un cuenco está atado.
Por el contrario, las sondas Voyager están (apenas) sueltas y volarán (lentamente) hacia la galaxia.
Matemáticamente, los estados ligados son estados que decaen lo suficientemente rápido en el infinito, de modo que la probabilidad de encontrar la partícula que describen en regiones lejanas del espacio es insignificante.
Durante mucho tiempo se ha conjeturado, basado en la intuición física, que es el caso de los estados mecánicos cuánticos significativos, como las funciones propias del hamiltoniano (no se espera que un electrón atómico tenga una probabilidad sensible de estar a una distancia infinita de su núcleo). ).
Esto ha sido probado matemáticamente en los años ochenta, principalmente por S.Agmon. En términos generales, el resultado es el siguiente: las funciones propias del operador de Schrödinger (es decir, correspondientes al espectro discreto) están decayendo exponencialmente en el espacio. Entonces, si $psi_n(x)$ son tales funciones propias, $lvert psi_n(x)rvertleq A e^-Blvert xrvert$, para algunas constantes positivas $A,B$.