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Solución:
Por definición, $log_bx$ es el número para el cual, si se toma $b$ a ese poder, obtienes $x$. Simbólicamente:
$$b^log_b x = x$$
Por ejemplo, ¿qué potencia necesitamos para aumentar $2$ a para conseguir $4$? Bueno es $log_24 = 2$. ¿Qué potencia necesitamos aumentar? $81$ a para conseguir $9$? Bueno es $log_819 = 0,5$.
pregúntate qué $log_1x$ medio. Es el poder, digamos $p$para cual $1^p=x$.
A no ser que $x=1$no hay solución, y cuando $x=1$ cualquier poder servirá, así que $registro_11$ es cualquier número.
Por la misma razón $log_0$ no tiene sentido porque no podemos resolver $0^y=x$ a no ser que $x=0$y cuando $x=0$cualquier poder servirá, así que $log_00$ podría ser cualquier número.
¿Por qué los logaritmos solo se pueden aplicar a argumentos positivos? Bien, $log_2(-1)$ sería el poder, digamos $p$para cual $2^p = -1$. Con suerte, puedes ver eso $2^p > 0$ para todos los números reales $p$.
Esta explicación está usando mi propia lógica, ¡así que no creas que es un libro de texto de ninguna manera!
Considere una base negativa hipotética de $-4$, por lo que la función indefinida (inexistente) $y$ $=$ $log$$_-4$$(x)$. Este logaritmo sería el inverso de la función $y$ $=$ $(-4)$$^x$, que solo se puede evaluar para exponentes que se pueden escribir como una fracción donde el denominador es impar. Recuerde que un exponente racional, como $(-4)$$^a/b$, representa un radical, a saber, $sqrt[b](-4)^a$, y un número negativo solo se puede evaluar para una raíz impar (usando números reales). Por ejemplo, $(-4)$$^1/2$ significa $sqrt-4$, que es una respuesta no real.
Por lo tanto, una función exponencial con una base negativa, como $y$ $=$ $(-4)$$^x$ no es una función en absoluto (no es continua), ya que solo se puede evaluar en valores de x muy específicos. Entonces, un logaritmo con una base negativa, como $y$ $=$ $log$$_-4$$(x)$ también solo funcionaría para argumentos muy específicos (debido a su conexión con el no continuo $ y$ $=$ $(-4)$$^x$) y tal función logarítmica tampoco sería continua.
Es por tales razones que solo consideramos logaritmos con bases positivas, ya que las bases negativas no son continuas y generalmente no son útiles. ¡Espero que esta idea tenga sentido y sea algo útil!
Porque el logaritmo es la función inversa de la operación exponencial, es decir: si $a^b=c$, entonces $b=log_a(c)$.
Como puedes ver, si $a=1$, $1^b=1, forall binmathbbR$, no tendría sentido estudiar este caso.
En cuanto a su signo: si $a<0$, entonces $a=(-1)cdot (-a)$, así: $$ a^b=(-1)^bcdot (-a)^b , $$ que dará lugar a una alternancia de signo, y sería más difícil de estudiar.
Si $a>0$ es así, también $c>0$.
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